Am Montag, den 14.05.2018 haben 45 mathematisch interessierte Grundschulkinder aus einem Enrichment-Programm der Uni Frankfurt mit MathCityMap den Campus Westend erkundet. Bei anfänglich gewittrigem Wetter sind die motivierten Dritt- und Viertklässler gemeinsam mit ihren Eltern und Studierenden auf mathematische Entdeckertour gegangen. Dabei wurden kombinatorische Knobeleien, wie die Baumaufgabe, und Messaufgaben kombiniert, sodass gemeinsam gerätselt und geknobelt wurde.
Wie viele Seile müssten gespannt werden, wenn jeder Baum mit jedem verbunden sein soll?
Die Kinder hatten sichtlich Spaß dabei, gemeinsam eine Lösung für die Problemstellungen zu finden. Gerade bei der Baumaufgabe konnten sie an Vorwissen aus den Förderstunden anknüpfen, wo eine ähnliche Frage bei der Begrüßung mit Handschlag bereits thematisiert wurde. Die Erkenntnis, dass der erste der 15 Bäume mit 14 verbunden wird, der zweite mit 13 und so weiter führte schnell zum richtigen Ergebnis.
Auch die Fragen, auf wie viele Arten sich 6 Personen auf eine Bank setzen können, sowie die Anzahl der Möglichkeiten eine Treppe mit Einer-, Zweier- oder Dreierschritten hochzugehen konnten von den Kindern durch Rechnungen und Ausprobieren gelöst werden.
Besonderes Highlight war eine Aufgabe, deren richtige Lösung das Schloss einer Schatztruhe mit kleinen Überraschungen öffnete.
Neben vielfältigen geometrischen Fragestellungen, spielen auch kombinatorische und stochastische Probleme eine bedeutende Rolle bei MathCityMap. Heute möchten wir Ihnen die häufigsten Blaupausenaufgaben rund um das Thema Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit vorstellen.
Zwei kombinatorische Fragestellungen, die schnell und unkompliziert mit dem Aufgabenwizard erstellt werden können, sind Aufgaben zu Kombinationsmöglichkeiten bei Treppenstufen und Fahrradständern.
Auf wie viele Arten kann man die Treppe hochlaufen, wenn man eine oder zwei Stufen nimmt?
Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.
Wie viele Möglichkeiten gibt es k Fahrränder anzuschließen?
Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, k Fahrräder an die Fahrradständer anzuschließen. Dafür benötigt man die Anzahl der Stellplätze n. Für das erste Fahrrad gibt es dementsprechend n Möglichkeiten um das Fahrrad abzustellen. Da dieser Platz danach belegt ist, bleiben für das zweite Fahrrad noch n-1 Möglichkeiten dieses anzuschließen. Analog geht erhält man für das k-te Fahrrad n-(k+1) Möglichkeiten. Bei diesem kombinatorischen Problem handelt es sich demnach um eine geordnete (die Reihenfolge berücksichtigende) Stichprobe ohne Zurücklegen. Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik (auch bekannt als Allgemeines Zählprinzip) ergibt sich per Multiplikation die Gesamtzahl der Möglichkeiten.
Dabei ist es wichtig, die Aufgaben präzise zu formulieren und deutlich zu machen, um welches Objekt bzw. um welchen Teil des Objekts es sich handelt (z.B. bei einer sehr langen Treppe den untersten Treppenabsatz). Die Aktivität des Aufgabenlösers bezieht sich hier zunächst auf das Zählen der Treppenstufen bzw. Parkmöglichkeiten der Fahrräder. Daher muss beim Fotografieren beachtet werden, dass diese Anzahl nicht bereits aus dem Foto entnommen werden kann.
Auch Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch MCM realisieren, beispielsweise die Frage, nach der Wahrscheinlichkeit an eine Ampel während einer Grünphase zu kommen oder an einer Bushaltestelle weniger als 5 Minuten auf den nächsten Bus warten zu müssen. Beide Aufgabentypen zielen auf die Laplacewahrscheinlichkeit (günstige Ereignisse dividiert durch alle möglichen Ereignisse).
Beide Schwerpunkte haben wir im folgenden Dokument mit mathematischem Hintergrund und Hinweisen im Detail für Sie zusammengestellt.
Mit einer Aufgabe aus dem Frankfurter Weihnachtstrail möchten wir heute die letzte „Aufgabe der Woche“ in diesem Jahr vorstellen und dabei auf die Möglichkeit der Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten im Rahmen von MCM aufmerksam machen.
Du sollst zwei Pakete für den Chef abholen. Du weißt nicht wie groß sie sind. Du rätst hinter welchen der gelben Fächer sie liegen könnten (in jedem Fach kann nur ein Paket liegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Pakete auch wirklich hinter den von Dir getippten Fächern liegen?
Zunächst muss geklärt werden, wie viele Fächer es gibt. Anschließend kann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit man das erste Fach und das zweite Fach richtig tippt. Hierbei sind kombinatorische Überlegungen dahingehend notwendig, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Als Antwortformat wurde bei dieser Aufgabe Multiple Choice gewählt, wobei die korrekte Lösung durch zwei Antwortmöglichkeiten ausgedrückt werden kann: einmal als Bruch und einmal als Abschätzung mit Prozent, was die Äquivalenz beider Formen unterstreicht. Die Aufgabe wird ab Klasse 9 empfohlen.
Mit dieser Aufgabe verabschiedet sich das MCM Team in die Weihnachtspause und wünscht allen Nutzern eine schöne Weihnachtszeit sowie ein gutes neues Jahr. Wir sind gespannt, wie wir im neuen Jahr das MCM Projekt weiterentwickeln können und freuen uns auf eine spannende Zeit!
Im Fokus der heutigen Aufgabe der Woche steht eine kombinatorische Fragestellung. Neben der für die Kombinatorik typischen Fragestellung nach der Anzahl von Möglichkeiten verbirgt sich hier zudem eine Anwendung der Fibonacci Zahlen, die von den SchülerInnen entdeckt werden können.
Wie viele Möglichkeiten gibt es den Treppensatz hochzulaufen, wenn man pro Schritt entweder eine oder zwei Stufen erklimmt? Die Schrittfolgen können auch kombiniert werden.
Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.
Die Aufgabe ist demnach ein gelungenes Beispiel für „versteckte“ Mathematik in einfachen Alltagsgegenständen. Sie bietet die Möglichkeit tiefer in den Themenkomplex der Fibonacci Zahlen einzusteigen bzw. diese von den SchülerInnen entdecken zu lassen. Nichtsdestotrotz kann die Aufgabe auch durch systematisches Probieren gelöst werden, sodass sie bereits ab Klasse 6 eingesetzt werden kann. Thematisch ist sie im Bereich Kombinatorik einzuordnen.
Diese Woche steht ein stochastisches Problem im Fokus der „Aufgabe der Woche“. Die Aufgabe nennt sich „Permutation am Fahrradständer“ und ist in dieser Form im Trail „Hubland Nord“ in Würzburg enthalten. Sie ist im System unter der Aufgabennummer 680 enthalten.
An den Fahrradständern sollen vier Fahrräder angeschlossen werden. Die Fahrräder können immer rechts oder links vom Ständer befestigt werden. Wie viele Möglichkeiten hat man die vier Fahrräder an den Ständern zu befestigen? Es spielt keine Rolle ob das Fahrrad „vorwärts“ oder „rückwärts“ parkt. Du darfst annehmen, dass die Ständer komplett leer sind.
Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, vier Fahrräder an die Fahrradständer anzuschließen. Dabei gibt es insgesamt acht Ständer und damit 16 Stellplätze. Auf dem Bild sind nicht alle Stellplätze zu sehen, damit das Kriterium der Präsenz bei der Aufgabe erfüllt ist und die SchülerInnen also tatsächlich nur vor Ort die Aufgabe lösen können. Für das erste Fahrrad gibt es dementsprechend 16 Möglichkeiten um das Fahrrad abzustellen. Da dieser Platz danach belegt ist, bleiben für das zweite Fahrrad noch 15 Möglichkeiten dieses anzuschließen. Analog geht erhält man für das dritte und vierte Fahrrad 14 und 13 Möglichkeiten. Bei diesem kombinatorischen Problem handelt es sich demnach um eine geordnete (die Reihenfolge berücksichtigende) Stichprobe ohne Zurücklegen. Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik (auch bekannt als Allgemeines Zählprinzip) ergibt sich per Multiplikation die Gesamtzahl der Möglichkeiten.
Die Aufgabe bietet eine gelungene Einbettung eines kombinatorischen Problems in die Realität. Sie lässt sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung zuordnen und kann ab Klasse 8 mit der Erarbeitung erster kombinatorischer Überlegungen eingesetzt werden. Auch insbesondere im Rahmen der Stochastik in der Oberstufe ist die Aufgabe zur Wiederholung grundlegender kombinatorischer Überlegungen geeignet. Dabei lässt sich die Aufgabe unkompliziert auf ähnliche Situationen (z.B. Parkplätze) übertragen.
