Steigung – MathCityMap

Diesmal haben wir eine Aufgabe aus Portugal zur Aufgabe der Woche gekürt, welche von unserer MoMaTrE-Partnerin Amélia Caldeira erstellt wurde. In einem kurzen Interview hat uns Amélia Caldeira Fragen zu MathCityMap und ihrer Aufgabe “Rampa de Acesso” (dt. Zugangsrampe) beantwortet.

Wie nutzen Sie MCM und warum?

Ich nutze MathCityMap, um Lernenden mathematische Anwendungsmöglichkeiten aufzuzeigen. Durch den Einsatz der MathCityMap-App können sie Objekte in ihrer Umgebung mathematisch beschreiben. Gleichzeitig zeige ich LehrerInnen mit MathCityMap ein erfolgreiches Rezept für den Mathematikunterricht auf: Technologieeinsatz gepaart mit Outdoor-Mathematik!

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Warum haben Sie diese erstellt? Wie kann sie gelöst werden?

In der Aufgabe “Rampa de Acesso” frage ich, ob die abgebildete Rampe Rollstuhlfahrern einen komfortablen Zugang ermöglicht. Eine Rampe gilt dann als rollstuhlgerecht, wenn ihre Steigung maximal 6% beträgt. Das Ziel der Aufgabe besteht als darin, die Rampensteigung anzugeben.

Dafür müssen Lernende die Rampe zunächst mittels eines Steigungsdreieckes mathematisch modellieren. Die Steigung der Rampe kann dann als Verhältnis von Länge zur Höhe der Rampe berechnet werden.

Good to know: MathCityMap stellt eine Wizard-Aufgabe zur Berechnung vom Rampensteigungen (in Prozent oder Grad) bereit. Wizard-Aufgaben sind vorbereitete Blaupausenaufgaben, die nur durch das Hinzufügen der erhobenen Messwerte und eines Fotos erstellt werden können.

In dieser Woche schauen wir uns eine Aufgabe an, mit der sich lineare Funktionen in der Umwelt realisieren lassen. Sie wurde von Kim Biedebach in Kassel angelegt.

Auf MathCityMap bin ich durch eine Mathe-Didaktik-Veranstaltung im Rahmen meines Lehramtstudiums, die ich dieses Semester besuche, aufmerksam geworden. Die Idee zu der Aufgabe kam mir eigentlich eher zufällig. Ich komme ursprünglich aus Kassel, war dort zu Besuch und hatte im Hinterkopf, dass ich für die Didaktik-Veranstaltung noch eine Modellierungsaufgabe konzipieren muss. Als ich dann am „Himmelsstürmer“ vorbeikam, habe ich spontan beschlossen, dass sich dieser für eine solche Aufgabe eignet.

Aufgabe: Himmelsstürmer (Aufgabennummer 3832)

Wie viele Meter befindet sich der Mann auf der Stange über dem Boden?

Dafür wird die Stange, auf der der Mann hinaufschreitet als lineare Funktion interpretiert. Der Punkt, an dem die Stange auf dem Boden beginnt wird der Einfachheit halber als Punkt (0, 0) gewählt. Nun muss die Steigung bestimmt werden als Quotient der Änderung in Vertikalen und der Änderung in der Horizontalen. Geht man vom gewählten Ursprung z.B. einen Meter zur Seite und misst dort die Höhe, so lässt sich die Steigung bestimmen.

Mithilfe der Steigung kann die Funktionsgleichung bestimmt werden. Danach muss der Abstand vom Ursprung zum Menschen auf dem Boden ermittelt werden (entspricht der x-Koordinate). Dies geschieht am besten, indem man sich unter dem Mann positioniert und den Abstand zum Ursprung misst. Durch einsetzen in die Funktionsgleichung kann die Höhe berechnet werden.

Die Aufgabe macht den linearen Zusammenhang von x- und y-Koordinaten besonders schön deutlich. Ebenfalls der Steigungsbegriff wird thematisiert. Natürlich können auch alternative Herangehensweisen gewählt werden, beispielsweise mithilfe des Strahlensatzes.

Unser erster Fokus zur Reihe Blaupausenaufgaben, also Aufgaben, die man an jedem Standort mit ähnlichen Objekten erstellen kann, liegt auf dem Thema Steigung. Dieses Thema hat für den Mathematikunterricht im Sinne des Spiralcurriculums in verschiedenen Jahrgangsstufen bis in die Oberstufe Relevanz.

Insbesondere die Steigung einer Geraden bzw. linearen Funktion erlaubt es, die Steigung verschiedener Objekte, wie Rampen oder Treppengeländer, mit Mathematik aus der Sekundarstufe I zu bestimmen. Das Ergebnis kann entweder in Prozent oder – unter Einbezug von trigonometrischen Zusammenhängen – in Grad angegeben werden.

Die mathematische Grundlage ist die Definition der Steigung als Quotient aus vertikaler und horizontaler Differenz, bzw. anschaulich gesprochen: die Verwendung eines Steigungsdreiecks. Dies kann z.B. an Rampen umgesetzt werden, insbesondere, wenn die waagrechte Länge einfach zu messen ist:

Beispiel einer Rampe, bei der sowohl horizontale, als auch vertikale Änderung leicht zu ermitteln sind.

Schwieriger wird die Berechnung der Steigung von Handläufen, bei denen man für die horizontale und vertikale Änderung eine Wasserwage benutzen sollte:

Beispiel eines Handlaufs, bei dem das Ergebnis ohne Wasserwaage ungenau wird.

Noch komplexer wird die Steigung am Geländer einer Wendeltreppe oder an Objekten, die nicht linear steigen:

Die Wendeltreppe führt das Thema Steigung auf eine komplexere Ebene und erfordert Vorstellungsvermögen und Transferwissen.

Bei nicht linear steigenden Objekten kann man nach der maximalen Steigung oder nach der Steigung in einem bestimmten Punkt fragen, z.B. als Vorbereitung für den Begriff der Tangente.

Im beigefügten Dokument finden Sie unsere ausführliche Sammlung mit häufig vorkommenden Blaupausenaufgaben zum Thema Steigung, dem mathematischen Hintergrund sowie bewährten Hilfestellungen und Tipps, zusammengestellt von Matthias Ludwig:

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Übrigens: Mit unserem Aufgaben Wizard können Sie die Aufgaben zur Steigung bei Rampen und gradlinigen Treppengeländern mit nur wenigen Klicks erstellen und auf passende Objekte in Ihrer Nähe übertragen!

Auch im neuen Jahr möchten wir Ihnen interessante Aufgaben und Themen aus dem MathCityMap Aufgabenportal vorstellen. Den Beginn macht eine Aufgabe aus Katar, die im Rahmen einer Vorstellung von MathCityMap angelegt wurde.

Aufgabe: Steigung der Helix (Aufgabennummer: 2243)

Bestimme die Steigung des Handlaufs der kreisförmigen Rampe. Gib das Ergebnis in Prozent an.

Trotz der architektonischen Besonderheit des Gebäudes, lässt sich die Aufgabe auf bekannte Art und Weise lösen. Dabei kann man sich die Definition der Steigung als Quotient aus vertikaler und horizontaler Änderung zu Nutze machen. Insbesondere mithilfe der Geländerstäbe lassen sich Abstand und horizontale Änderung leicht erfassen.

Damit passt die Aufgabe thematisch in den Bereich „Steigung“ – ein Thema, das bei MathCityMap immer wieder und an nahezu jedem Standort vorkommt, egal ob bei Geländern, Rampen oder Treppen. Die Aufgabenstellung ist ab Klassenstufe 7 lösbar und dient als Grundlage für das Erkennen von funktionalen Zusammenhängen.

Die heutige Aufgabe der Woche führt uns nach Südafrika. Dort hat Matthias Ludwig im Rahmen einer Lehrerfortbildung drei Trails in Grahamstown angelegt. Zum Hintergrund können Sie hier mehr erfahren.

Die daraus vorgestellte Aufgabe befasst sich mit der Ermittlung einer Dachsteigung mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Aufgabe: Dachsteigung (Aufgabennummer: 1697)

Ermittel die Steigung des Dachs. Gibt das Ergebnis in Prozent an.

Die Aufgabe lässt sich thematisch bei linearen Funktionen und deren Steigung einordnen. Die Steigung wird mithilfe des Quotienten aus vertikaler und horizontaler Länge ermittelt. Dafür muss ein geeignetes Steigungsdreieck gefunden werden. Während sich die horizontale Länge durch Messen ermitteln lässt, kann die Höhe mithilfe der Anzahl an Steinen berechnet werden. Die Aufgabe bildet demnach eine gelungene Verbindung von Geometrie und Funktionen und lässt sich für SchülerInnen ab Klasse 8 einsetzen.

Viele der Aufgaben aus dem MCM-Portal beziehen sich auf mathematisches Wissen aus der Sekundarstufe I. Die heutige Aufgabe der Woche zeigt, dass sich auch Wissen aus der Sekundarstufe II in Aufgaben wiederfinden lässt. In der Aufgabe „Hublandbrücke I“ geht es insbesondere um den Wendepunkt einer Funktion sowie seine Eigenschaften.

Aufgabe: Hublandbrücke I (Aufgabennummer 684)

Auf welcher Stufe (von unten gezählt) befindet sich der Wendepunkt?

Zunächst muss die Brücke gedanklich als Funktion modelliert werden. Zur optischen Bestimmung des Wendepunkts verwenden die SchülerInnen die Eigenschaften des Wendepunkts. Dabei kann die Eigenschaft helfen, dass der Wendepunkt hier der Punkt mit maximaler Steigung und ohne Krümmung ist. Die maximale Steigung kann bei Vorhandensein des Geräts auch mithilfe eines Steigungsmessers bestimmt werden (vgl. Hublandbrücke II). Den Wendepunkt als Punkt ohne Krümmung kann man optisch so bestimmen, indem man die Stelle sucht, an dem der Graph einer Geraden ähnelt. Nachdem der Wendepunkt bestimmt wurde, müssen die SchülerInnen die Treppenstufen bis dorthin zählen. Am besten gelingt dies, wenn dies mehrfach erfolgt und der Mittelwert gebildet wird.

Die Aufgabe lässt sich dem Themenbereich Analysis zuordnen, genauer der Differentialrechnung. Mit Erarbeitung der Eigenschaften des Wendepunkts einer Funktion kann die Aufgabe ab Klasse 11 eingesetzt werden.

Die heutige „Aufgabe der Woche“ führt nach Hamburg, genauer an die Stadtteilschule Am Heidpark, wo der Trail „Am Heidpark“ angelegt ist. Dieser Trail macht besonders gut deutlich, dass ein Schulhof bereits ideale Bedingungen für einen MathCityMap Trail schaffen kann. Die daraus gewählte „Aufgabe der Woche“ nennt sich „Kletterwand“ und hat die Aufgabennummer 668.

Aufgabe: Kletterwand

Bestimme die Steigung der Kletterwand in Prozent.

Die Aufgabe bietet eine reale Einbettung des Themas Steigung von linearen Funktionen. Die Steigung der Kletterwand lässt sich dabei durch Rückgriff auf das Steigungsdreieck bestimmen. Im Koordinatensystem wird die Steigung einer linearen Funktion über zwei Punkte der Funktion bestimmt, genauer über die Differenz der y-Koordinaten (dy) und die Differenz der x-Koordinaten (dx) mit anschließender Division. Im realen Kontext ist es dementsprechend notwendig den Höhenunterschied (dy) sowie den Längenunterschied (dx) in der Horizontalen zu messen. Anschließend lässt sich mithilfe einer Division die Steigung der Kletterwand bestimmen, welche im letzten Schritt noch in Prozent umgewandelt werden muss. Die Aufgabe kann ab Klasse 8 eingesetzt werden und fördert ein inhaltliches Begriffsverständnis der Steigung einer linearen Funktion und deren Berechnung über Steigungsdreiecke. Die Aufgabe ist besonders gut als Einstieg in das Thema geeignet, da sie das rechtwinklige Steigungsdreieck bereits „vorgibt“. Weiterführende Aufgaben können sich dann z.B. mit der Steigung von einem Treppenhandlauf beschäftigen. Die Aufgabe stellt eine Verbindung von Algebra und Geometrie dar und lässt sich insbesondere den Leitideen Messen und Funktionaler Zusammenhang zuordnen.

Schlagwort: Steigung

Aufgabe der Woche: Die Zugangsrampe

Aufgabe der Woche: Himmelsstürmer

Blaupausenaufgaben: Steigung

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Aufgabe der Woche: Steigung der Helix

Aufgabe der Woche: Dachsteigung

Aufgabe der Woche: Hublandbrücke

Aufgabe der Woche: Kletterwand