Prisma – MathCityMap

Um verschiedene geometrische Körper zu modellieren bieten sich Brunnen und deren Wasserinhalt bestens an. Während viele Brunnen rechteckig oder kreisförmig angelegt sind und sich somit als Quader oder Zylinder annähern lassen, stellen wir in der aktuellen Aufgabe der Woche einen achteckigen Brunnen vor, dessen Volumen durch das eines Prismas mit achteckiger Grundfläche beschrieben werden kann.

Aufgabe: Wasser im Brunnen (Aufgabennummer: 4295)

Bestimmt annäherungsweise das Volumen des Brunnens. Du kannst annehmen, dass er eine durchschnittliche Tiefe von 30 cm hat. Gib das Ergebnis in Litern an.

Auch wenn die Formel für ein Achteck nicht bekannt ist, kann die Aufgabe durch geschicktes Zerlegen oder Ergänzen gelöst werden. Zum Beispiel kann zunächst die Fläche des Quadrats bestimmt werden, das das Achteck einschließt. Anschließend muss an den vier Ecken, die beim Quadrat zu viel berechnet wurden jeweils die Fläche eines Dreiecks abgezogen werden. Mithilfe der Höhe ergibt sich anschließend das Volumen.

Wie bereits vor einigen Wochen führt uns die Aufgabe der Woche auf den afrikanischen Kontinent, genauer auf den etwa 1000 Meter hohen Tafelberg in Kapstadt. Dort befindet sich ein Denkmal aus Stein, das zugleich ein ideales Objekt für eine MCM Aufgabe darstellt.

Aufgabe: Tafelberg Denkmal (Aufgabennummer: 1791)

Bestimme die Masse des Steindenkmals. Gib das Ergebnis in Kilogramm an. 1 cm³ Granit wiegt 2,6 g.

Zunächst muss die Form des Steins genauer betrachtet werden. Bei der Wahl eines geeigneten Modells bietet sich ein Prisma mit trapezförmiger Grundfläche an. Dafür ist es notwendig von kleineren Abweichungen zum idealen Körper abzusehen sowie mit dem Stein gedanklich zu operieren. Anschließend werden die notwendigen Daten ermittelt und mithilfe der Flächeninhaltsformel eines Trapezes, der Volumenformel eines Prismas sowie der angegebenen Dichte ergibt sich das gesuchte Gewicht des Steins.

Die Aufgabe zeigt, dass sich MCM im Laufe der letzten Jahre zu einer internationalen Plattform für authentische „outdoor“ Mathematikaufgaben entwickelt hat und bereits an vielen markanten Plätzen Aufgaben angelegt wurden. Wir freuen uns auf weitere Aufgaben und sind gespannt, in welchen Ländern und Regionen als nächstes neue MCM Aufgaben entstehen werden.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um Vielecke und geometrische Figuren. Dabei spielt insbesondere das Prisma mit einer sechseckigen Grundfläche eine Rolle. Die Aufgabe befindet sich in dieser Form in Köln, kann jedoch ohne Probleme auch ähnliche Objekte übertragen werden.

Aufgabe: Blumenkübel (Aufgabennummer: 1189)

Wie groß ist das Volumen des Blumenkübels? Du darfst annehmen dass der Boden genauso dick ist wie der Rand des Kübels. Gib das Ergebnis in Litern an.

Wie bereits erwähnt kann die Grundfläche als regelmäßiges Sechseck angenommen werden. Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche können die SchülerInnen entweder die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks verwenden oder die Fläche in geeignete Teilflächen aufteilen. Dabei ist zu beachten, dass der Rand nicht zum Volumen dazuzählt. Anschließend messen die SchülerInnen die Höhe des Prismas, wobei sie die Bodenplatte abziehen müssen. Anschließend ergibt sich durch Multiplikation das Volumen des Prismas, das im letzten Schritt noch in Liter umgewandelt wird.

Die Aufgabe beinhaltet damit eine geometrische Fragestellung, bei der die SchülerInnen entweder ihr Wissen zu regelmäßigen Vielecken oder zu zusammengesetzen Flächen anwenden können. Zudem werden räumliche Figuren thematisiert sowie die Anpassung an reale Gegebenheiten durch Beachten des Rands. Die Aufgabe ist ab Klasse 8 empfohlen.

Die dieswöchige Aufgabe der Woche spricht insbesondere die Modellierungskompetenz der SchülerInnen an. Es geht darum, das Gewicht eines Steins möglichst genau zu approximieren, indem der Stein durch einen bekannten Körper angenähert wird.

Aufgabe: Stein (Aufgabennummer: 1048)

Wie schwer ist der Stein? 1cm³ wiegt 2,8g. Gib das Ergebnis in kg an.

Um das Objekt mithilfe eines geometrischen Grundkörpers anzunähern müssen die SchülerInnen von geringen Abweichungen des realen Objekts und des idealen Körpers absehen. Dabei eignet sich insbesondere ein Prisma mit trapezförmiger Grundseite. Ist dieser Schritt getan, so ermitteln die SchülerInnen mithilfe von Messungen die für diesen Körper relevanten Seiten und berechnen anschließend sein Volumen. Im letzen Schritt folgt die Berechnung des Gewichts mit der angegebenen Dichte sowie die Umrechnung in Kilogramm.

Bei dieser Aufgabe zeigt sich besonders schön, dass es für mathematische Fragestellungen nicht immer nur ein richtiges Ergebnis gibt. Durch unterschiedliche Annäherungen und Messungen erhalten die SchülerInnen abweichende Ergebnisse. Um dennoch ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten müssen die ermittelten Werte in einem festgelegten Intervall liegen. Auch das Übersetzen von der Realität in die „mathematische Welt“ spielt hier im Sinne der Modellierungskompetenz eine entscheidende Rolle.

Die Aufgabe erfordert Wissen über die geometrischen Grundkörper und insbesondere über das Prisma mit trapezförmiger Grundfläche. Sie ist demnach in der räumlichen Geometrie einzuordnen und kann ab Klasse 7 gelöst werden.

Schlagwort: Prisma

Aufgabe der Woche: Wasser im Brunnen

Aufgabe der Woche: Tafelberg Denkmal

Aufgabe der Woche: Blumenkübel

Aufgabe der Woche: Stein