Aufgabe der Woche – Seite 5

Im Rahmen der ICM Konferenz in Rio de Janeiro hat Iwan Gurjanow erste Aufgaben auf südamerikanischem Boden angelegt. Im daraus entstandenen Trail findet sich auch unsere heutige Aufgabe der Woche wieder.

Aufgabe: Pflastersteine (Aufgabennummer: 4505)

Wie viele Pflastersteine befinden sich annähernd in der rot markierten Fläche?

Während wir die Aufgabe bereits häufig bei kreisförmigen oder rechteckigen Flächen angelegt haben, kommt an dieser Stelle das Parallelogramm ins Spiel. Denn es bieten sich an, den Flächeninhalt zu bestimmen und die Anzahl der Steine in einem gewissen Bereich zu zählen, z.B. in einem mit dem Zollstock ausgelegten Quadrat der Größe 60×60 cm. Diese Anzahl wird dann auf die Gesamtfläche hochgerechnet, deren Flächeninhalt sich schnell über Seitenlänge und Höhe des Parallelogramms ergibt.

Eine zeitsparende Variante zum mühsamen Zählen, denn so viel sei verraten: Die Lösung liegt bei weit über 1000.

Zu Beginn des Monats hat Iwan Gurjanow das MathCityMap Projekt erfolgreich in Schweden auf der PME Konferenz vorgestellt. Natürlich wurden vor Ort auch Aufgaben angelegt, so wie die heutige Aufgabe der Woche.

Aufgabe: Höhe der Statue (Aufgabennummer: 4303)

Wie hoch ist die Statue? Gib das Ergebnis in Metern an.

Die Aufgabe lässt sich auf verschiedene Arten lösen. Zum einen ist es aus einer größeren Entfernung möglich, mithilfe einer Person als Referenzgröße zu schätzen, wie oft diese Person in die Statue passt.

Genauer wird es, wenn die Aufgabe mithilfe des Strahlensatzes gelöst wird, wie im folgenden Hinweisbild dargestellt:

Als Referenz kann hier der Zollstock dienen.

Diese Woche gibt uns Carmen Monzo, Lehrerin in Spanien, einen Einblick in ihre Aufgabe „Säulen im Park“. Die Aufgabe wurde in einem Park in Albacete erstellt, der „viele mathematische Elemente enthält, die die Leute nicht wahrnehmen, solange sie nicht die mathematische Brille aufhaben.“

Task: Säulen im Park (Task Number: 3981)

Bestimme die Oberfläche (in m²) einer der Säulen.

„Ich mag insbesondere diese Stuktur. Parallele and senkrechte Linien können einfach gefunden werden, ebenso wie die Säulen (Zylinder), deren Oberfläche einfach mithilfe eines Zollstocks oder Maßbands und einem Taschenrechner bestimmt werden kann. Die Höhe des Zylinders kann einfach bestimmt werden, aber für eine möglichst genaue Bestimmung des Radius‘ am Boden, müssen die Schüler zunächst den Umfang messen und durch 2 Pi dividieren.

Da es zwölf Säulen gibt, can die Aufgabe simultan von etwa 20 Schülern bearbeitet werden. Anschließend können sie ihre Ergebnisse vergleichen und über die Wichtigkeit der Messgenauigkeit nachdenken. Um die Aufgabe zu lösen ist Wissen über 2D und 3D Formen, das Konzept der Oberfläche und Formeln zur Berechnung notwendig.

Als Sekundarstufen Mathematiklehrerin denke ich, dass unsere Schüler verschiedene Aktivitäten wie messen, zählen, fühlen und mit ihren Sinnen arbeiten durchführen sollten. MathCityMap gibt Schülern und Lehrern die Motivation solche Dinge mit moderner Smartphone Technologie zu betreiben.

In dieser Woche schauen wir uns eine Aufgabe an, mit der sich lineare Funktionen in der Umwelt realisieren lassen. Sie wurde von Kim Biedebach in Kassel angelegt.

Auf MathCityMap bin ich durch eine Mathe-Didaktik-Veranstaltung im Rahmen meines Lehramtstudiums, die ich dieses Semester besuche, aufmerksam geworden. Die Idee zu der Aufgabe kam mir eigentlich eher zufällig. Ich komme ursprünglich aus Kassel, war dort zu Besuch und hatte im Hinterkopf, dass ich für die Didaktik-Veranstaltung noch eine Modellierungsaufgabe konzipieren muss. Als ich dann am „Himmelsstürmer“ vorbeikam, habe ich spontan beschlossen, dass sich dieser für eine solche Aufgabe eignet.

Aufgabe: Himmelsstürmer (Aufgabennummer 3832)

Wie viele Meter befindet sich der Mann auf der Stange über dem Boden?

Dafür wird die Stange, auf der der Mann hinaufschreitet als lineare Funktion interpretiert. Der Punkt, an dem die Stange auf dem Boden beginnt wird der Einfachheit halber als Punkt (0, 0) gewählt. Nun muss die Steigung bestimmt werden als Quotient der Änderung in Vertikalen und der Änderung in der Horizontalen. Geht man vom gewählten Ursprung z.B. einen Meter zur Seite und misst dort die Höhe, so lässt sich die Steigung bestimmen.

Mithilfe der Steigung kann die Funktionsgleichung bestimmt werden. Danach muss der Abstand vom Ursprung zum Menschen auf dem Boden ermittelt werden (entspricht der x-Koordinate). Dies geschieht am besten, indem man sich unter dem Mann positioniert und den Abstand zum Ursprung misst. Durch einsetzen in die Funktionsgleichung kann die Höhe berechnet werden.

Die Aufgabe macht den linearen Zusammenhang von x- und y-Koordinaten besonders schön deutlich. Ebenfalls der Steigungsbegriff wird thematisiert. Natürlich können auch alternative Herangehensweisen gewählt werden, beispielsweise mithilfe des Strahlensatzes.

Im Mai hat das MathCityMap Team einen Trail im Zaryadye Park in Moskau angelegt – rechtzeitig zum Start der Fußball WM im Juni!

Eine der darin enthaltenen Aufgabe soll in dieser Woche im Fokus der Aufgabe der Woche stehen, nicht zuletzt aufgrund der beeindruckenden Architektur des Objekts.

Aufgabe: Abstand der Türme (Aufgabennummer 3761)

Bestimme den Abstand zwischen den Kreuzen auf den Türmen. Gib das Ergebnis in Metern an.

Bereits in der Abbildung wird deutlich, dass die Strecke nicht direkt gemessen werden kann. Ohne die Verwendung von speziellem Messwerkzeug müssen die Aufgabenlöser eine kreative Idee entwickeln: Der Abstand in der Höhe lässt sich auf den Boden projizieren.

Dies geschieht am besten mithilfe von markanten Stellen am Gebäude, oder wie im Bild dargestellt aus einer gewissen Distanz. Mit dieser Idee lässt sich die anfängliche Hürde der Höhe des Gebäudes schnell umgehen und die Aufgabe einfach lösen.

Wenn Sie das MathCityMap Portal durchforsten, werden Sie feststellen, dass Blumentöpfe für vielfältige geometrische Aufgabenstellungen dienen. Alleine durch das häufige Vorkommen und die verschiedenen Formen (Zylinder, Prisma mit sechseckiger Grundfläche, etc.) wird die Fragestellung, wie viel Liter Erde in einen Blumentopf passen, realisiert. In der heutigen Aufgabe der Woche handelt es sich um einen Blumentopf in Form eines Kegelstumpfs.

Aufgabe der Woche: Blumentopf (Aufgabennummer: 1219)

Wie viel Erde befindet sich in dem Blumentopf, wenn er bis oben gefüllt wird? Gib das Ergebnis in Litern an.

Das Volumen eines Kegelstumpfs ist wahrscheinlich nicht allen Schülern direkt geläufig. Entsprechend müssen verschiedene Strategien angewendet werden, beispielsweise die Differenz von einem großen und einem kleinen Kegel. Weitere Herausforderungen sind die Berechnung des unteren Radius‘ mithilfe des Umfangs sowie die Berücksichtigung des Randes/Bodens, der offensichtlich nicht mit Erde gefüllt ist.

Am Montag, den 14.05.2018 haben 45 mathematisch interessierte Grundschulkinder aus einem Enrichment-Programm der Uni Frankfurt mit MathCityMap den Campus Westend erkundet. Bei anfänglich gewittrigem Wetter sind die motivierten Dritt- und Viertklässler gemeinsam mit ihren Eltern und Studierenden auf mathematische Entdeckertour gegangen. Dabei wurden kombinatorische Knobeleien, wie die Baumaufgabe, und Messaufgaben kombiniert, sodass gemeinsam gerätselt und geknobelt wurde.

Aufgabe: Verbundene Bäume (Aufgabennummer: 3485)

Wie viele Seile müssten gespannt werden, wenn jeder Baum mit jedem verbunden sein soll?

Die Kinder hatten sichtlich Spaß dabei, gemeinsam eine Lösung für die Problemstellungen zu finden. Gerade bei der Baumaufgabe konnten sie an Vorwissen aus den Förderstunden anknüpfen, wo eine ähnliche Frage bei der Begrüßung mit Handschlag bereits thematisiert wurde. Die Erkenntnis, dass der erste der 15 Bäume mit 14 verbunden wird, der zweite mit 13 und so weiter führte schnell zum richtigen Ergebnis.

Auch die Fragen, auf wie viele Arten sich 6 Personen auf eine Bank setzen können, sowie die Anzahl der Möglichkeiten eine Treppe mit Einer-, Zweier- oder Dreierschritten hochzugehen konnten von den Kindern durch Rechnungen und Ausprobieren gelöst werden.

Besonderes Highlight war eine Aufgabe, deren richtige Lösung das Schloss einer Schatztruhe mit kleinen Überraschungen öffnete.

Enstanden auf einer Lehrerfortbildung in Erfurt, betrachten wir heute die Aufgabe der Woche zum Thema Torbogen. Das Thema lässt verschiedene Fragestellungen zu, bereits vor einigen Wochen haben wir eine Torbogen-Aufgabe vorgestellt, in der es um das Gewicht der verwendeten Steine eines Torbogens ging. Heute steht die maximale Höhe des Torbogens im Fokus.

Aufgabe: Torbogen (Aufgabennummer: 3090)

Bestimme die maximale Höhe des Torbogens an der Krämerbrücke. Gib das Ergebnis in Metern an. Gib dein Ergebnis gerundet auf zwei Nachkommastellen an.

Die wohl eleganteste Art die Aufgabe zu lösen ist die Unterteilung des Torbogens in Rechteck und Halbkreis:

Mit diesem Hinweis gilt es den Punkt zu bestimmen, an dem der Halbkreis beginnt und das Rechteck endet. Mit der Höhe des Rechtecks und dem Radius des Halbkreises (am besten zu ermitteln mithilfe des Durchmessers) ergibt sich die Höhe des Torbogens. Soll das Thema Kreis noch mehr in den Fokus gestellt werden, so könnte auch nach dem Umfang des Torbogens gefragt werden, sodass der Zusammenhang von Durchmesser und Umfang thematisiert werden könnte.

In einem weiteren Beitrag aus unserer Rubrik Blaupausenaufgaben möchten wir Ihnen heute Volumen- und Gewichtsberechnungen vorstellen. Schwerpunkte sind die Körper Quader und Zylinder. Weitere Körper werden wir in folgenden Beiträgen aufgreifen.Wir beginnen mit diesen Formen, da sie nicht nur sehr häufig in der Umgebung zu finden sind, sondern auch mithilfe unseres Aufgaben-Wizards erstellt werden können.

Objekte, deren Volumen sich mithilfe von Quadern berechnen lässt, sind zum Beispiel Betonklötze oder auch Steine. Dabei variiert die Schwierigkeit mit zunehmenden Umebenheiten am Objekt, die mithilfe von gemittelten Messwerten ausgeglichen werden sollten. Bei Sitzbänken lässt sich der Schwierigkeitsgrad zudem erhöhen, wenn diese mithilfe verschiedener Quader beschrieben wird.

Zylinder eignen sich hervorragend um das Volumen von Baumstämmen zu bestimmen. Aber auch viele Brunnen sind kreisförmig und entsprechend eine gute Grundlage für Zylinderberechnungen.

Insbesondere bei Steinen und Baumstämmen lässt sich die Fragestellung schnell auf das Gewicht ausweiten, indem man eine passende Dichte von Beton oder Holz angibt. Die mathematischen Hintergründe sowie häufig vorkommende Dichten finden Sie wie gewohnt im angehängten Dokument Blaupausenaufgaben Volumen 1

Haben Sie schon unsere GPS-Aufgaben mit dem Aufgaben Wizard ausprobiert? Diese bieten Ihnen die Möglichkeit, interessante Problemstellungen mithilfe der eigenen Position und dem GPS-Signal der Smartphones zu bearbeiten.

Folgende Objekte sind momentan möglich:

Strecke AB ungerichtet
Strecke AB gerichtet
Gleichseitiges Dreieck ABC
Quadrat ABCD
Gleiche Entfernung zu 2 Punkten
Gleiche Entfernung zu 3 Punkten (Umkreismittelpunkt)
Lineare Funktion durch 2 Punkte

Die GPS-Aufgaben setzen ein aktiviertes GPS-Signal voraus und sollten mit Abstand zu hohen Gebäuden platziert werden, um die Genauigkeit des GPS-Senders zu erhöhen. Zum Anlegen der Aufgabe benötigt man einen großen Platz oder eine Rasenfläche, die es ermöglicht eine längere Strecke bzw. das gesuchte Objekt vollständig abzulaufen, z.B. in der Beispielaufgabe Nord-Süd-Strecke laufen.

Diese Aufgabenstellung lässt verschiedene Lösungen zu, da die Aufgabenlöser sowohl Start-, als auch Endpunkt der Strecke frei wählen können, lediglich Richtung (Nord-Süd) und Länge (50m) werden vorgegeben. Anders bei den Aufgaben zu gleicher Entfernung und lineare Funktion, bei der Punkte bzw. ein Koordinatensystem vorgegeben und vom Smartphone angezeigt werden.

Schlagwort: Aufgabe der Woche

Aufgabe der Woche: Pflastersteine

Aufgabe der Woche: Höhe der Skulptur

Aufgabe der Woche: Säulen im Park

Aufgabe der Woche: Himmelsstürmer

Aufgabe der Woche: Abstand der Türme

Aufgabe der Woche: Blumentopf

Aufgabe der Woche: Kombinatorische Knobelaufgaben

Aufgabe der Woche: Torbogen

Blaupausenaufgaben: Volumen I

Blaupausenaufgaben: GPS-Aufgaben