Fläche – MathCityMap

Dominik Enders, Schüler am Rhön-Gymnasium Bad Neustadt, hat unsere neue Aufgabe der Woche „Ring“ erstellt. Im Interview erläutert er, wieso an seiner Schule die Lernenden eigene MCM-Aufgaben erstellen.

Wie nutzen Sie MCM und warum?

Ich bin über mein Projekt-Seminar der Oberstufe des Rhön-Gymnasiums Bad Neustadt an der Saale unter Leitung von Frau Gleichmann auf MathCityMap gestoßen. Im Rahmen des P-Seminars erstellen wir für Schülerinnen und Schüler aus jüngeren Klassen Mathtrails, welche Sie in Ihrer Freizeit oder an Wandertagen angehen können.

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Wie kann diese gelöst werden?

Bei meiner Aufgabe handelt es sich um ein ringförmiges Sportgerät auf einem Spielplatz, von welchem man den Flächeninhalt der oberen Seite ermitteln soll. Hierbei soll man annehmen, dass die Ränder des Rings glatt, also ohne Einkerbungen sind.

Man muss zuerst die Kreisfläche bis zum äußeren Rand des Rings berechnen (Maßband/Zollstock und Taschenrechner sind erforderlich), indem man den Radius ermittelt und anschließend
die Kreisfläche berechnet. Nach dem gleichen Verfahren berechnet man die kleinere Kreisfläche, die vom inneren Rand des Rings eingeschlossen wird. Anschließend muss man nur noch die kleinere Fläche von der Größeren abziehen, um den Flächeninhalt der Oberseite des Rings zu erhalten.

Welche didaktischen Ziele verfolgen Sie mit der Aufgabenstellung?

Die Aufgabe bezieht sich auf die Unterrichtsinhalte der 8. Jahrgangsstufe und stellt eine Anwendung der Kenntnisse der Schülerinnen und Schüler zum Thema Kreisfläche dar. Eine erhöhte Anforderung stellt der Kreis-Ring dar, die aber durch den Rückgriff auf die Flächenformel für zwei Kreise bewältigt werden kann. Motivierend soll der Bezug von Mathematik der 8. Jahrgangsstufe zu einem Sportgerät auf einem Spielplatz sein, das die Schüler aus ihrer Alltagserfahrung kennen. Durch das Messen von Längen (Radien) wird auch das Thema Größen aus der 5. Jahrgangsstufe sowie die Bedeutung von Messgenauigkeit angesprochen.

Hinweis: Die Aufgabe „Schuhgröße der Statue“ wurde ebenfalls von einer Schülerin des Rhön-Gymnasiums erstellt. Es war die 15.000 Aufgabe bei MCM – klasse!

Unsere neue Aufgabe der Woche führt uns nach Michelstadt im schönen Odenwald. Hier hat Alexander Strache, Mathelehrer im Vorbereitungsdienst, die Aufgabe das “Altes Michelstädter Rathaus” erstellt. Im Interview erzählt er von seinen Erfahrungen mit MathCityMap.

Wie hast du MathCityMap-Projekt kennengelernt? Wie nutzt du MCM?

Ich bin über mein Studium an der Goethe-Uni Frankfurt auf MCM gestoßen. Zunächst über Flyer und “Werbung” dafür in einer Vorlesung, dann über die Teilnahme an einem Seminar dazu. An der Uni habe ich auch meine ersten zwei Aufgaben für MCM erstellt. Zurzeit bin ich Lehrer im Vorbereitungsdienst und beginne, den ersten Mathtrail für meine Einsatzschule aufzubauen.

Beschreibe deine Aufgabe. Wie kann diese gelöst werden?

Die Aufgabe besteht darin, den Flächeninhalt des Daches des historischen Michelstädter Rathauses möglichst gut abzuschätzen. Einerseits lassen sich viele Größen nicht direkt messen, da das Dach weit über den Köpfen der Schüler/innen hängt, andererseits lassen sich doch die Dimensionen des Grundrisses abschreiten/vermessen und weitere Größen gut abschätzen (Fortgeschrittene können sogar über eine Strahlensatzfigur bestimmte vertikale Abstände recht gut bestimmen). Der Vergleich mit Nachbargebäuden und das Abzählen der Stockwerke kann für eine grobe Näherung hilfreich sein. Für das Erstellen der Musterlösung habe ich mit einem Bastelbogen gearbeitet und möglichst genau die jeweiligen Flächen betrachtet – vor Ort reicht das Arbeiten mit Dreiecken und Rechtecken vollauf.

Welche didaktischen Ziele verfolgst du mit der Aufgabenstellung?

Es geht, einen Blick für einfache geometrische Figuren in der Architektur zu schulen und diese notfalls auf noch einfachere zu abstrahieren: den Flächeninhalt von vielen Trapezen, aber auch allgemeinen Vielecken kann man durch Parallelogramme oder Rechtecke überschlagsmäßig annähern. Natürlich müssen bei der kleinteiligen Dachfläche viele Vereinfachungen vorgenommen werden, aber hierbei wird das Modellieren geschult: Was kann ich vernachlässigen und vereinfachen, ohne dass das Gesamtergebnis zu sehr verfälscht wird? Es geht darum, durch “educated guesses” nicht-messbare Größen schlau zu überschlagen: Wenn ich weiß, dass die Tiefe des Gebäudes rund 10m beträgt, wie hoch könnte dann das Dach sein? Und natürlich werden, wie immer bei MCM, überfachliche Kompetenzen wie Teamfähigkeit geschult.

Weitere Anmerkungen zu MCM?

Ich finde es toll, dass hier ein digitales Werkzeug entwickelt wurde, dass nicht dazu führt, dass die Kinder immer länger vor dem Bildschirm sitzen, sondern dass Bewegung, frische Luft, Schulung der Ortskenntnis und des Blickes für mathematische Phänomene in der „realen Welt“ eine große Rolle spielen. Außerdem steht die Kompetenz des Modellierens im Vordergrund, was für mich sehr wichtig ist. Auch wenn die Entwicklung einer guten Aufgabe einige Zeit und Arbeit kostet, lässt sie sich dann immer wieder einsetzen. MCM ist also ideal für eine Fachschaft, die kooperativ Aufgaben entwickelt.

Dieses Mal führt uns die Aufgabe der Woche nach Estland. In der Stadt Tartu hat der deutsche Mathematiklehrer Sascha Abraham im Rahmen des Erasmus-Projektes „Making Technology Meaningful Through Digital Pedagogy“ die Aufgabe „Cobblestones“ angelegt, welche er uns nachfolgend erläutert.

Wie sind Sie auf das MathCityMap-Projekt gestoßen? Wie nutzen Sie MCM und warum?

Ich bin im Rahmen des MNU-Bundeskongresses im März auf MathCityMap aufmerksam geworden, als ich den Workshop mitgemacht habe. Ich hatte im letzten Schuljahr dann leider keine Gelegenheit mehr MCM im Unterricht zu nutzen, habe es aber in diesem Schuljahr eingeplant. Ich möchte es auf zwei Arten nutzen: Zum einen erstelle ich Routen (zum Beispiel zur Wiederholung vor einer Klassenarbeit oder zur Veranschaulichung) und zum anderen möchte ich gerne Schüler Aufgaben für jüngere Klassen oder nächste Schuljahrgänge erstellen lassen.

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Warum haben Sie diese erstellt? Wie kann sie gelöst werden?

Im Rahmen des Erasmus-Projektes „Making Technology Meaningful Through Digital Pedagogy“ geht es darum „neue Technologien“ (Einsatz elektronischer Geräte wie Tablets, Handys, etc. sowie verfügbare Software) sinnvoll mit einem Mehrwert in den Unterricht einzubinden. Hier kann meines Erachtens MCM ganz klar einen Beitrag leisten, da man so Mathematik außerhalb des Klassenraumes „in der wirklichen Welt“ erleben kann.

Die Route und in diesem Zusammenhang auch die Aufgabe „Cobblestones“ war Teil meiner Präsentation im Rahmen eines Treffens aller beteiligten Partner. Es ging darum, dass auch die anderen Projektmitglieder MCM kennenlernen.

Die Aufgabe Cubblestones sollte dabei als Beispiel für eine Zählaufgabe stehen. Die Frage ist, wie viele Pflastersteine in einem bestimmten Areal ausgelegt wurden. Sie kann dadurch gelöst werden, dass man die quadratischen Pflastersteine auf dem rechteckigen Platz berechnet. Man muss am Ende allerdings noch die zwei Pflanzenlöcher abziehen und die Steine um die Sitzbänke herum hinzuzählen. Grundsätzlich geht es hierbei weniger um die komplizierte mathematische Berechnung als vielmehr auch um genaues Beobachten und sorgfältiges Arbeiten.

Worin liegt für Sie der Wert von Wizard-Aufgaben? Wie können solche Blaupausen-Aufgaben helfen, das Anlegen von MCM-Mathtrails zu unterstützen?

Es gibt bestimmte Standardaufgaben, die man nahezu überall findet beziehungsweise überall erstellen kann. Der Wizard hat viele davon schon vorbereitet, so dass man schnell ein kleines Set an Aufgaben für einen Trail zusammen hat. Außerdem geben die Wizard-Aufgaben neuen Usern eine Orientierung, welche Möglichkeiten man hat und was für Aufgaben gut umsetzbar sind.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um den Kreisring. Dahinter steckt die Idee, die gesuchte Fläche durch Differenz zweier Flächen zu bestimmen, die sich einfach berechnen lassen.

Aufgabe: Ringfläche (Aufgabennummer: 1943)

Berechne die Fläche des Kreisrings. Gib das Ergebnis in cm² an.

Beim Kreisring ermittelt man zunächst den Radius des gesamten Kreises, sowie den Radius des kleinen „fehlenden“ Kreises. In diesem Fall geht das am einfachsten mithilfe der Durchmesser beider Kreise. Anschließend berechnet man entweder mit dem nötigen Formelwissen direkt den Flächeninhalt des Kreisringes, oder man berechnet die Fläche des gesamten Kreises und zieht die kleine kreisförmige Aussparung ab. In beiden Fällen ergibt sich die gesuchte Fläche.

Eine ähnliche Aufgabenstellung lässt sich mithilfe von Verkehrsschildern, z.B. dem Durchfahrt verboten Schild und der Frage nach dem Anteil der roten Farbe, realisieren. In beiden Fällen spielt der Kreis thematisch eine übergeordnete Rolle, sodass die Thematik ab Klasse 9 eingesetzt werden kann.

Im Hamburger Stadtteil Wilhelmsburg wurden im Herbst diesen Jahres zahlreiche Aufgaben im Rahmen der Stiftungstage 2017 angelegt. Die angelegten Aufgaben überzeugen – ganz im Sinne des MCM Konzepts – insbesondere durch ihre altersübergreifende und thematische Vielfalt, die wir exemplarisch in der heutigen Aufgabe der Woche darstellen möchten.

Aufgabe: Rote Fläche (Aufgabennummer: 1964)

Wie groß ist die rote Fläche, auf der die Tischtennisplatte steht? Gib das Ergebnis in m² an.

Schnell wird klar, dass sich die gesamte Fläche nicht durch ein einzelnes geometrisches Objekt approximieren lässt, bzw. dies nur unter deutlichen Einbußen bezüglich der Genauigkeit möglich ist. Es bietet sich demnach an, die gesuchte Fläche in disjunkte Teilflächen zu zerlegen, die mithilfe von Formeln berechnet werden können. Dies geschieht am besten mithilfe einer Skizze. Eine besondere Herausforderung sind dabei die geschwungenen Ränder, an denen Abschätzungen und Annäherungen notwendig sind. Nach Messungen und Berechnungen folgt der Gesamtflächeninhalt durch Addition der Flächeninhalte aller Teilflächen.

Die Fläche lässt sich mithilfe von Rechtecken und Dreiecken beschreiben. Zudem ist das Prinzip der Zerlegung und Additivität von Flächeninhalten Voraussetzung zur Lösung des Problems. Die Aufgabe lässt sich ab Klasse 7 einsetzen.

Im Rahmen einer Lehrerfortbildung am Johanneum Gymnasium Herborn ist eine Modellierungsaufgabe entstanden, die wir Ihnen heute als „Aufgabe der Woche“ vorstellen möchten.

Aufgabe: Brick in the Wall (Aufgabennummer: 2040)

Die Mauer auf dem Schulhof soll neu besprüht werden. Dabei ist geplant, für das Loch in der Wand auch Farbe zu sparen. Berechne die zu besprühende Fläche in m². Gib das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an.

Die Herausforderung bei dieser Aufgabe besteht darin, das vorhandene Loch in der rechteckigen Mauer möglichst genau anzunähern. Dafür können verschiedene Modelle gewählt werden. Zum einen könnte man das Loch als Kreis annehmen und einen durchschnittlichen Durchmesser ermitteln. Genauer wird das Ergebnis jedoch durch Annäherung des Lochs als Ellipse und Messung der Achsen.

Die Aufgabe erfordert ein gewisses Maß an Kreativität und zeigt, dass die eindeutige Mathematik in der Umgebung außerhalb des Klassenraums an ihre Grenzen stößt. Die SchülerInnen erwerben Modellierungskompetenzen, insbesondere in der geschickten Wahl eines mathematischen Modells. Die verschiedenen Lösungswege und Ergebnisse der SchülerInnen bilden demnach eine ideale Grundlage zur Diskussion günstiger Modelle. Thematisch kann die Aufgabe mit Behandlung von Kreis und Ellipse ab Klasse 9 eingesetzt werden.

Die heutige Aufgabe der Woche betrachtet eine geometrische Fragestellung am Aasee in Münster. Genauer geht es dabei um den Oberflächeninhalt einer Halbkugel, der von den SchülerInnen berechnet werden soll.

Aufgabe: Pilz (Aufgabennummer: 1400)

Bestimme die Fläche eines Fliegenpilzschirms. Gib das Ergebnis in dm² an. Runde auf eine Dezimale.

Um die Aufgabe zu lösen müssen die SchülerInnen die Form zunächst als Halbkugel annähern und erkennen. Anschließend benötigen sie die Formel zur Berechnung der Kugeloberfläche bzw. hier der Halbkugeloberfläche. Zur Bestimmung wird lediglich der Radius der Halbkugel benötigt. Da er nicht direkt gemessen werden kann, lässt sich dieser am besten über den Umfang ermitteln.

Die Aufgabe erfordert Wissen zum Kreis und zur Kugel und kann dementsprechend ab Klasse 9 im Bereich der Körpergeometrie eingesetzt werden.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um eine geometrische Fragestellung. Dabei geht es um die Flächenberechnung der Dachfläche des abgebildeten Pavillons.

Aufgabe: Pavillon (Aufgabennummer: 665)

Bestimme die Dachfläche des Pavillons! Gib das Ergebnis in m² an.

Dafür sollen die SchülerInnen erkennen, dass die Dachfläche aus mehreren gleichschenkligen Dreiecken besteht. Es genügt also die Höhe und Grundseite eines Dreiecks zu messen und mithilfe der Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken den Flächeninhalt zu berechnen. Anschließend kann die Gesamtfläche durch Multiplikation mit der Anzahl der Dreiecke ermittelt werden.

Zur Lösung der Aufgabe müssen die SchülerInnen also mit der Flächenberechnung bei Dreiecke vertraut sein. In der Aufgabe wird der „geometrische Blick“ geschult, indem die Dreiecksform in einer zusammengesetzten Figur erkannt wird. Hier findet sich ein wesentlicher Aspekt von Mathematik außerhalb des Klassenraums, nämlich das Erkennen von mathematischen Begriffen und Objekten in der Realität, sowie die Nutzung von mathematischem Wissen zur Lösung alltäglicher Fragestellungen. Das Lösen der Aufgabe ist ab Klasse 6 mit Erarbeitung des Themenbereichs Dreiecke möglich.

Schlagwort: Fläche

Aufgabe der Woche: Der Ring

Aufgabe der Woche: “Michelstädter Rathaus”

Aufgabe der Woche: Das Kopfsteinpflaster

Aufgabe der Woche: Ringfläche

Aufgabe der Woche: Rote Fläche

Aufgabe der Woche: Brick in the Wall

Aufgabe der Woche: Pilz

Aufgabe der Woche: Pavillon