Aufgaben – Seite 3 – MathCityMap

Unsere heutige Aufgabe der Woche wurde von Vanessa Präg, Lehramtsstudentin an der Goethe Universität Frankfurt, im Rahmen einer mathematikdidaktischen Veranstaltung angelegt. In einem kurzen Interview wird sie uns von ihren Eindrücken berichten.

Aufgabe: Großes Schlüsselloch (Aufgabennummer: 2550)

Die Stadt möchte die Schlüssellocher verschließen. Dafür werden die Löcher mit Beton bis zu den jeweiligen Rändern gefüllt. Wie viel wiegt der Beton in einem Schlüsselloch, wenn die Dichte des Betons 2,1g/cm³ beträgt? Schätze zunächst und berechne dann das Gewicht des Betons in kg.

Wie kam Ihnen die Idee diese Aufgabe für MathCityMap zu erstellen? Wie sind Sie auf MathCityMap aufmerksam geworden?

Aufmerksam auf MathCityMap hat mich mein Dozent, Herr Zender, gemacht. Im Rahmen eines Kurses haben wir als angehende Lehrkräfte darüber gesprochen, was Modellierung im Mathematikunterricht bedeutet. Zur Verdeutlichung lies er uns selbst einmal eine kleine Runde aus MathCityMap ablaufen und lösen sowie selbst 2 Aufgaben in MCM anlegen. Ich bin seit Jahren begeisterte Geocacherin und finde es eine gute Idee, an unterschiedlichen Orten Aufgaben zu stellen, die mit Mathematik gelöst werden sollen. Wenn ich mehr Zeit habe, werde ich sicherlich noch mehr Aufgaben erstellen.

Die Aufgabe selbst kam mir, als ich durch unsere Stadt gelaufen bin und nach ungewöhnlichen Objekten für MCM Ausschau gehalten habe. Dabei ist mir das Schlüsselloch sofort ins Auge gesprungen.

Welche Kompetenzen und Themen spielen bei der Aufgabenlösung eine Rolle?

Als Kompetenzen sehe ich bei dieser Aufgabe „Problemlösen (K2), Modellieren (K3) und mit Mathematik symbolisch/formal/technisch vorgehen (K5)“ im Vordergrund. Kommunizieren (K6) gehört für mich auch dazu, da zum einen die Information aus der Aufgabe richtig verstanden und umgesetzt werden muss, zum anderen sollen die SchülerInnen aber auch untereinander ihre Lösungsvorschläge kommunizieren. Korrektes Messen der Längen, sowie das Wissen über Körper und ihre Volumen spielen hierbei eine wichtige Rolle. Was mich selbst überrascht hat, war, wie schwer Beton schon bei einem vergleichsweise so kleinem Volumen ist. Daher dachte ich mir, wäre es vll. interessant für die SchülerInnen, ob sie das Gewicht einigermaßen richtig einschätzen können oder ob sie weit daneben liegen.

Auch wenn der Schwerpunkt vieler MCM Aufgaben auf Mathematikstoff der Sekundarstufe I liegt, lassen sich auch einige Aufgaben mit Themen aus der Sekundarstufe II realisieren. So unsere aktuelle Aufgabe der Woche, die im Rahmen einer Lehrerfortbildung an den Kaufmännischen Schulen Hanau erstellt wurde.

Aufgabe: Parabelrutsche (Aufgabennummer: 2241)

Die Form der Rutsche ist das Stück einer Parabel. Bestimmen Sie den Stauchungsfaktor. 1m entspricht 1 LE. Sie können davon ausgehen, dass die Rutsche am Ende nahezu waagerecht ist.

Die Rutsche wird entsprechend der Aufgabenstellung mithilfe der Funktionsgleichung f(x)=ax² einer Parabel approximiert. Zum Lösen der Aufgabe müssen die SchülerInnen die Situation zunächst in ein geeignetes Koordinatensystem übertragen. Da lediglich nach dem Stauchungsfaktor gefragt wird, ist es nicht nötig, dies in der Aufgabenstellung festzulegen. Es macht Sinn das Koordinatensystem so festzulegen, dass der Ursprung am unteren Ende der Parabel liegt, jedoch das waagrechte Ende außenvorlässt. Bei einer solchen Wahl genügt es, einen weiteren Punkt auf der Rutsche zu bestimmen, also die Änderung in der x- und y-Koordinate. Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt sich der Stauchungsfaktor a.

Anfang des Jahres konnte MCM erfolgreich in Mumbai präsentiert werden. In diesem Rahmen wurde selbstverständlich auch gleich der erste indische Math Trail angelegt, aus dem unsere akutelle Aufgabe der Woche stammt.

Aufgabe: Rasenfläche (Aufgabennummer: 2459)

Bestimme den Flächeninhalt der Rasenfläche. Gib das Ergebnis in m² an.

Zunächst muss ein mathematisches Modell gefunden werden, dass die Rasenfläche bestmöglich repräsentiert. Dies gelingt am besten, indem die Gesamtfläche in mehrere Einzelflächen aufgeteilt wird. Naheliegend ist dabei die Aufteilung in zwei Halbkreise und ein Rechteck. Dafür müssen die Rechtecksseitenlängen sowie der Kreisradius gemessen, die Flächen berechnet sowie alle Teilflächen addiert werden.

Die Aufgabe dem Themenkomplex zusammengesetzten Flächen zuzuordnen, wobei Berechnungen am Kreis schon bekannt sein müssen, um die Aufgabe möglichst exakt zu lösen. Im deutschen Schulsystem wäre sie demnach ab Klasse 8 lösbar.

Unser heutiges Objekt – gefunden in Hamburg – erfordert das Erkennen verschiedener Vierecksformen sowie das geschickte Zerlegen in mehrere Teilflächen.

Aufgabe: Glasüberdachung (Aufgabennummer: 2148)

Wie viel Quadratmeter Glas wurde für die gesamte Überdachung verbaut?

Die Verglasung besteht aus einer rechteckigen Dachfläche (zerlegbar in drei kleine Rechtecke), einer rechteckigen Fläche neben dem Eingang und drei Trapezen an jeder Seite. Zum Lösen der Aufgabe müssen also sämtliche Messwerte für die Rechtecke und Trapeze erhoben werden. Anschließend berechnen die SchülerInnen die einzelnen Flächeninhalte und durch Addition den gesamten Inhalt der Verglasung.

Durch die einzelnen Balken ist die Zerlegung der Flächen nahezu vorgegeben. Dennoch erfordert die Aufgabe das Erkennen der geometrischen Formen sowie eine passende Mathematisierung der Aufgaben durch Formelwissen von Rechteck und Trapez. Diese geometrische Fragestellung lässt sich zusammengesetzten Flächen zuordnen und kann ab Klasse 8 gelöst werden.

Auch im neuen Jahr möchten wir Ihnen interessante Aufgaben und Themen aus dem MathCityMap Aufgabenportal vorstellen. Den Beginn macht eine Aufgabe aus Katar, die im Rahmen einer Vorstellung von MathCityMap angelegt wurde.

Aufgabe: Steigung der Helix (Aufgabennummer: 2243)

Bestimme die Steigung des Handlaufs der kreisförmigen Rampe. Gib das Ergebnis in Prozent an.

Trotz der architektonischen Besonderheit des Gebäudes, lässt sich die Aufgabe auf bekannte Art und Weise lösen. Dabei kann man sich die Definition der Steigung als Quotient aus vertikaler und horizontaler Änderung zu Nutze machen. Insbesondere mithilfe der Geländerstäbe lassen sich Abstand und horizontale Änderung leicht erfassen.

Damit passt die Aufgabe thematisch in den Bereich „Steigung“ – ein Thema, das bei MathCityMap immer wieder und an nahezu jedem Standort vorkommt, egal ob bei Geländern, Rampen oder Treppen. Die Aufgabenstellung ist ab Klassenstufe 7 lösbar und dient als Grundlage für das Erkennen von funktionalen Zusammenhängen.

Mit einer Aufgabe aus dem Frankfurter Weihnachtstrail möchten wir heute die letzte „Aufgabe der Woche“ in diesem Jahr vorstellen und dabei auf die Möglichkeit der Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten im Rahmen von MCM aufmerksam machen.

Aufgabe: Packstation im Westend (Aufgabennummer: 779)

Du sollst zwei Pakete für den Chef abholen. Du weißt nicht wie groß sie sind. Du rätst hinter welchen der gelben Fächer sie liegen könnten (in jedem Fach kann nur ein Paket liegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Pakete auch wirklich hinter den von Dir getippten Fächern liegen?

Zunächst muss geklärt werden, wie viele Fächer es gibt. Anschließend kann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit man das erste Fach und das zweite Fach richtig tippt. Hierbei sind kombinatorische Überlegungen dahingehend notwendig, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Als Antwortformat wurde bei dieser Aufgabe Multiple Choice gewählt, wobei die korrekte Lösung durch zwei Antwortmöglichkeiten ausgedrückt werden kann: einmal als Bruch und einmal als Abschätzung mit Prozent, was die Äquivalenz beider Formen unterstreicht. Die Aufgabe wird ab Klasse 9 empfohlen.

Mit dieser Aufgabe verabschiedet sich das MCM Team in die Weihnachtspause und wünscht allen Nutzern eine schöne Weihnachtszeit sowie ein gutes neues Jahr. Wir sind gespannt, wie wir im neuen Jahr das MCM Projekt weiterentwickeln können und freuen uns auf eine spannende Zeit!

Als Aufgabenersteller für MathCityMap ist es wichtig, die Umwelt durch eine „mathematische Brille“ zu betrachten. So werden Gebäude zu Quadern, Rasenflächen zu Vielecken oder – wie in der aktuellen Aufgabe der Woche – Gewächshäuser zu halben Zylindern.

Aufgabe: Gewölbtes Gewächshaus (Aufgabennummer: 1950)

Berechne den Materialbedarf an Wellplastik für das Gewächshaus. Gib das Ergebnis in m² an.

Beim Lösen der Aufgabe wird dieser mathematische Blick auch bei den SchülerInnen geschult. Dabei geht es zunächst um das Erkennen des Objekts als halben liegenden Zylinder. Ist dies geschafft, müssen Radius, der Umfang des Halbkreises und Höhe gemessen werden, damit der Materialverbrauch berechnet werden kann. Dies entspricht der Oberfläche des halben Zylinders, die mithilfe von Formeln für den Flächeninhalt eines Kreises und der Mantelfläche eines Zylinders bestimmt werden kann.

Durch Kooperation mit der MOOC Arbeitsgruppe der Universität Turin, freuen wir uns über erste MCM Aufgaben in Italien, wo auch die heutige Aufgabe der Woche angelegt ist.

Aufgabe: Gebäudehöhe (Aufgabennumer: 2045)

Bestimme die Höhe des Gebäudes. Gib das Ergebnis in Metern an.

Die Höhe lässt sich auf verschiedene Weisen annähern, z.B. durch Schätzen oder den Strahlensatz. Besonders elegant kann man die Aufgabe lösen, indem man nach Strukturen und Mustern in der Gebäudefassade sucht. Bei diesem Gebäude fallen direkt die Querstreifen auf, die sich bis zum Dach finden lassen. Für die Gesamthöhe ist es also nur nötig, die Höhe eines Querstreifens zu ermitteln, sowie die Anzahl der Streifen zu zählen. Kleinere Abweichungen vom Muster können mithilfe von Schätzungen angenähert werden.

Mithilfe dieser Methode kann die Aufgabe bereits von SchülerInnen der Klassenstufe 6 gelöst werden. Bei älteren SchülerInnen werden die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten im besten Fall vor Ort diskutiert und anhand der Einfachheit und Genauigkeit bewertet.

Wie bereits vor einigen Wochen führt uns die Aufgabe der Woche auf den afrikanischen Kontinent, genauer auf den etwa 1000 Meter hohen Tafelberg in Kapstadt. Dort befindet sich ein Denkmal aus Stein, das zugleich ein ideales Objekt für eine MCM Aufgabe darstellt.

Aufgabe: Tafelberg Denkmal (Aufgabennummer: 1791)

Bestimme die Masse des Steindenkmals. Gib das Ergebnis in Kilogramm an. 1 cm³ Granit wiegt 2,6 g.

Zunächst muss die Form des Steins genauer betrachtet werden. Bei der Wahl eines geeigneten Modells bietet sich ein Prisma mit trapezförmiger Grundfläche an. Dafür ist es notwendig von kleineren Abweichungen zum idealen Körper abzusehen sowie mit dem Stein gedanklich zu operieren. Anschließend werden die notwendigen Daten ermittelt und mithilfe der Flächeninhaltsformel eines Trapezes, der Volumenformel eines Prismas sowie der angegebenen Dichte ergibt sich das gesuchte Gewicht des Steins.

Die Aufgabe zeigt, dass sich MCM im Laufe der letzten Jahre zu einer internationalen Plattform für authentische „outdoor“ Mathematikaufgaben entwickelt hat und bereits an vielen markanten Plätzen Aufgaben angelegt wurden. Wir freuen uns auf weitere Aufgaben und sind gespannt, in welchen Ländern und Regionen als nächstes neue MCM Aufgaben entstehen werden.

Am 14.11.2017 haben Iwan Gurjanow und Simone Jablonski MathCityMap im Rahmen einer internen Fortbildung an der Werner-von-Siemens-Schule in Wetzlar präsentiert. Zunächst wurde den TeilnehmerInnen die theoretische Grundlage zu Math Trails sowie das MCM Konzept präsentiert. Mithilfe der Kriterien für gute MCM Aufgaben wurden die TeilnehmerInnen anschließend selbst aktiv und sichteten das Schulgelände für mögliche Aufgaben. Nach einem Perspektivenwechsel lernten die TeilnehmerInnen dann noch die App mithilfe eines auf dem Schulhof angelegten Trails – bestehend aus vielfältigen geometrischen Problemstellungen – kennen. Als Endprodukt der Veranstaltungen konnten die TeilnehmerInnen ihre eigenen Aufgaben im Portal anlegen und zu einem Trail rund um die Schule zusammenfassen.

Wir danken den TeilnehmerInnen für Ihre Mitarbeit und Rückmeldung und freuen uns auf zahlreiche MCM Aufgaben im Raum Wetzlar.

Haben auch Sie Interesse an einer MCM Fortbildung? Nehmen Sie Kontakt mit uns auf!

Schlagwort: Aufgaben

Aufgabe der Woche: Großes Schlüsselloch

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Aufgabe der Woche: Tafelberg Denkmal

MCM in Wetzlar