Aufgabe der Woche – Seite 4

Unsere neue Aufgabe der Woche führt uns in die Vereinigten Staaten. Auf dem Campus der University of California Santa Cruz hat die Doktorandin für Mathematikdidaktik Julianne Foxworthy die Aufgabe „So many stairs!“ (dt.: So viele Stufen) erstellt.

Wie sind Sie auf das MathCityMap-Projekt gestoßen?

Ich habe die App für mich entdeckt, als ich im vergangenen Jahr Iwan Gurjanow [MCM-Team der Goethe-Universität Frankfurt] auf der PME-Jahrestagung in Schweden kennenlernte. Ich lehrte Mathematik für 10- bis 13-Jährige SchülerInnen und nutzte dabei auch Mathtrails, allerdings ohne technische Unterstützung. Die SchülerInnen waren begeistert!

Wie nutzen Sie MCM?

Den “MBAMP Math Trail“ (bzw. die Aufgabe “So many stairs!”) habe ich im Rahmen eines Fortbildungsprogramms für Grundschullehrer entwickelt. Die Lehrkräfte waren allesamt sehr an der Nutzung von Mathtrails im Unterricht interessiert. In Zukunft möchte ich eine Reihe von Mathtrails für verschiedene Altersstufen an der berühmten Strandpromenade von Santa Cruz erstellen – seien Sie gespannt!

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Wie kann sie gelöst werden?

“So many stairs!” ist eine relativ einfache Aufgabe, die ich für Grundschulkinder erstellt habe. Die Frage lautet, wie viele Stufen du und zwei deiner Freunde nehmen müssen, wenn ihr ein Wettrennen vom Ort des Fotos zur Tür der Bibliothek macht.

Die Problemlösenden müssen die Anzahl der Stufen zur Bibliothek zählen und anschließend – das wird der schwierige Part für die ganz Kleinen – herausfinden, wie viele Stufen sie und ihre Freunde gemeinsam gelaufen sind.

Diesmal haben wir eine Aufgabe aus Portugal zur Aufgabe der Woche gekürt, welche von unserer MoMaTrE-Partnerin Amélia Caldeira erstellt wurde. In einem kurzen Interview hat uns Amélia Caldeira Fragen zu MathCityMap und ihrer Aufgabe “Rampa de Acesso” (dt. Zugangsrampe) beantwortet.

Wie nutzen Sie MCM und warum?

Ich nutze MathCityMap, um Lernenden mathematische Anwendungsmöglichkeiten aufzuzeigen. Durch den Einsatz der MathCityMap-App können sie Objekte in ihrer Umgebung mathematisch beschreiben. Gleichzeitig zeige ich LehrerInnen mit MathCityMap ein erfolgreiches Rezept für den Mathematikunterricht auf: Technologieeinsatz gepaart mit Outdoor-Mathematik!

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Warum haben Sie diese erstellt? Wie kann sie gelöst werden?

In der Aufgabe “Rampa de Acesso” frage ich, ob die abgebildete Rampe Rollstuhlfahrern einen komfortablen Zugang ermöglicht. Eine Rampe gilt dann als rollstuhlgerecht, wenn ihre Steigung maximal 6% beträgt. Das Ziel der Aufgabe besteht als darin, die Rampensteigung anzugeben.

Dafür müssen Lernende die Rampe zunächst mittels eines Steigungsdreieckes mathematisch modellieren. Die Steigung der Rampe kann dann als Verhältnis von Länge zur Höhe der Rampe berechnet werden.

Good to know: MathCityMap stellt eine Wizard-Aufgabe zur Berechnung vom Rampensteigungen (in Prozent oder Grad) bereit. Wizard-Aufgaben sind vorbereitete Blaupausenaufgaben, die nur durch das Hinzufügen der erhobenen Messwerte und eines Fotos erstellt werden können.

Dieses Mal führt uns die Aufgabe der Woche nach Estland. In der Stadt Tartu hat der deutsche Mathematiklehrer Sascha Abraham im Rahmen des Erasmus-Projektes „Making Technology Meaningful Through Digital Pedagogy“ die Aufgabe „Cobblestones“ angelegt, welche er uns nachfolgend erläutert.

Wie sind Sie auf das MathCityMap-Projekt gestoßen? Wie nutzen Sie MCM und warum?

Ich bin im Rahmen des MNU-Bundeskongresses im März auf MathCityMap aufmerksam geworden, als ich den Workshop mitgemacht habe. Ich hatte im letzten Schuljahr dann leider keine Gelegenheit mehr MCM im Unterricht zu nutzen, habe es aber in diesem Schuljahr eingeplant. Ich möchte es auf zwei Arten nutzen: Zum einen erstelle ich Routen (zum Beispiel zur Wiederholung vor einer Klassenarbeit oder zur Veranschaulichung) und zum anderen möchte ich gerne Schüler Aufgaben für jüngere Klassen oder nächste Schuljahrgänge erstellen lassen.

Beschreiben Sie Ihre Aufgabe. Warum haben Sie diese erstellt? Wie kann sie gelöst werden?

Im Rahmen des Erasmus-Projektes „Making Technology Meaningful Through Digital Pedagogy“ geht es darum „neue Technologien“ (Einsatz elektronischer Geräte wie Tablets, Handys, etc. sowie verfügbare Software) sinnvoll mit einem Mehrwert in den Unterricht einzubinden. Hier kann meines Erachtens MCM ganz klar einen Beitrag leisten, da man so Mathematik außerhalb des Klassenraumes „in der wirklichen Welt“ erleben kann.

Die Route und in diesem Zusammenhang auch die Aufgabe „Cobblestones“ war Teil meiner Präsentation im Rahmen eines Treffens aller beteiligten Partner. Es ging darum, dass auch die anderen Projektmitglieder MCM kennenlernen.

Die Aufgabe Cubblestones sollte dabei als Beispiel für eine Zählaufgabe stehen. Die Frage ist, wie viele Pflastersteine in einem bestimmten Areal ausgelegt wurden. Sie kann dadurch gelöst werden, dass man die quadratischen Pflastersteine auf dem rechteckigen Platz berechnet. Man muss am Ende allerdings noch die zwei Pflanzenlöcher abziehen und die Steine um die Sitzbänke herum hinzuzählen. Grundsätzlich geht es hierbei weniger um die komplizierte mathematische Berechnung als vielmehr auch um genaues Beobachten und sorgfältiges Arbeiten.

Worin liegt für Sie der Wert von Wizard-Aufgaben? Wie können solche Blaupausen-Aufgaben helfen, das Anlegen von MCM-Mathtrails zu unterstützen?

Es gibt bestimmte Standardaufgaben, die man nahezu überall findet beziehungsweise überall erstellen kann. Der Wizard hat viele davon schon vorbereitet, so dass man schnell ein kleines Set an Aufgaben für einen Trail zusammen hat. Außerdem geben die Wizard-Aufgaben neuen Usern eine Orientierung, welche Möglichkeiten man hat und was für Aufgaben gut umsetzbar sind.

Die heutige Aufgabe der Woche wurde in Druskininkai, Litauen, von unserer MoMaTrE-Projektpartnerin Sona Ceretkova erstellt. Die Aufgabenstellung „Flower Frame“ fragt, wie viel Prozent der Beetfläche aus einem Rechteck durch zwei halbkreisförmige Einschnitte „herausgeschnitten“ wurden. Zu ihrer Aufgabe hat uns Sona Ceretkova einige Fragen beantwortet.

Was ist der mathematische Gegenstand der Aufgabe?

Das Blumenbeet befindet sich im Kurort Druskininkai in Litauen, der als wahres Blumenparadies gilt. Es ist eine weit verbreitete Praxis, Blumenbeete durch Steinreihen zu rahmen. Ein solcher Steinrahmen wurde aufgrund seiner interessanten Form für unsere Aufgabe gewählt: Das Blumenbeet kann als Rechteck mit zwei ausgeschnittenen Halbkreisen modelliert werden.

Zu jenem Objekt sind eine Vielzahl mathematischer Fragestellungen denkbar:

Berechne die Größe der Rechtecksfläche ohne die kreisförmigen Einschnitte.
Berechne die Fläche der beiden Einschnitte.
Berechne die Differenz der Gesamtfläche des Rechtecks (ohne Einschnitte) und der beiden Einschnitte.
Berechne den Anteil der Einschnitte an der Rechtecksfläche.
Berechne den Anteil der Einschnitte an der Gesamtfläche des Blumenbeets.
Berechne, wie viel Prozent des Rechtecks durch die beiden Einschnitte fehlen.
Dies ist auch die Aufgabenstellung der hier präsentierten Aufgabe „Flower Frame“

Wie kann man das Problem lösen?

Die Rahmung des Blumenbeets hat „mathematikfreundliche“ Maße: Es ist vier Meter lang und einen Meter breit. Bei beiden Einschnitten handelt es sich um zwei identische Halbkreise, welche folglich einen ganzen Kreis bilden. Dies wird in einem Hinweis angegeben. Damit ist die gegebene geometrische Modelling der Situation relativ einfach (siehe Bild).

Ein weiterer Hinweis legt fest, dass die Fläche des Rechtecks (Fläche des Blumenbeets ohne Einschnitte) 100% beträgt. Damit beträgt die Größe der fehlenden Fläche ca. 20%. Die Lösung wird mittels multiple choise abgefragt, was wir in diesem Sachzusammenhang für das sinnvollste Lösungsformat erachten. Interessant kann es dabei sein, die Aufgabenbearbeiter vor der Vermessung einen Tipp abgeben zu lassen: Dass 1/5 der Rechtecksfläche durch die beiden halbkreisförmigen Einschnitte „herausgeschnitten“ wurden, ist ein überraschend großer Anteil!

Welches didaktische Ziel verfolgt die Aufgabe?

Mit dieser Aufgabenstellung wollen wir mehrere mathematikdidaktische Ziele verfolgen:

Präzises Messen.
Vorstellen, Zeichnen oder Beschreiben der mathematischen Situation durch ein Rechteck und zwei Halbkreise.
Berung zweier geometrischer Grundformen: Rechteck & Kreis
Korrekter Umgang mit Einheiten
Anwendung der Prozentrechnung
Interdisziplinäre Ansätze: Ökologie & Botanik

Unsere neue Aufgabe der Woche führt uns nach Irland: Auf dem Campus der Dublin City University (DCU) hat unser MoMatrE-Partner Christian Mercat die Aufgabe „Das Gewicht der DCU“ erstellt und uns einige Fragen über MathCityMap beantwortet.

Was ist der Gegenstand der Aufgabe?

Auf dem Campus ist ein riesiger Steinschriftzug zu finden. Ich habe mich gefragt, wie schwer dieser DCU-Schriftzug wohl ist. Daher habe ich die Figur eingehend untersucht und die Oberfläche sowie die Tiefe der Figuren vermessen.

Wie kann die Aufgabe gelöst werden?

Zunächst muss die die durchschnittliche Länge und Breite jedes Buchstaben ermittelt werden. So kann der Buchstabe „C“ als -Anteil eines Kreisrings zum Durchmesser 2 m mit einer Breite von 30 cm modelliert werden. Damit beträgt seine Oberfläche ca. 1,2 m². Die Modellierung der Buchstaben „D“ und „U“ erfolgt gleichermaßen. Insgesamt ergibt sich eine Oberfläche von 4,5 m². Bei einer gemessenen Tiefe von 50 cm führt dies zu einem Volumen von 2,25 m³. Die Dichte des verwendeten Steins beträgt ca. 2,4 t/m³. Somit beträgt das Gesamtgewicht der Skulptur ca. 5400 kg.

Da das Abschätzen der Skulpturenoberfläche knifflig ist, habe ich deren Größe numerisch mittels GeoGebra abgeschätzt (siehe Foto).

Abschätzung der Skulpturenoberfläche mittels GeoGebra.

Welches didaktische Ziel verfolgt die Aufgabe?

Natürlich geht es darum, dass die Schülerinnen und Schüler eine ungefähre Abschätzung vornehmen: Wiegt die Skulptur nur einige hundert Kilo, einige Tonnen oder gar zehn Tonnen? Ich habe ein relativ großes Lösungsintervall zwischen 3000 kg und 7500 kg zugelassen, falls die Lernenden die Aufgabe durch ein bloßes Vermessen mittels ihrer Arme lösen wollen. Dies halte ich für eine akzeptable Lösungsmethode. Jedoch zielt die Aufgabe eigentlich darauf ab, die Buchstaben möglichst genau geometrisch zu beschreiben. Für eine gute Lösung akzeptiere ich Angaben zwischen 5000 kg bis 6000 kg.

Warum nutzen Sie MathCityMap?

Ich liebe es, MathCityMap-Trails zu erstellen! Durch das Erstellen von MCM-Aufgaben lernt man die eigene Umgebung mit einem mathematikspezifischen Blick kennen. Die Suche nach mathematisch interessanten Objekten schult das „mathematische Auge”.

Unsere neue Aufgabe der Woche führt uns nach Lüneburg. Dort hat die Lehramtsstudentin Jennifer Oppermann die Aufgabe „Das grüne Ohr“ angelegt und uns einige Fragen beantwortet.

Worum geht es in der Aufgabe?

„Wie groß ist der Mensch, dem dieses Ohr gehört?“ lautet die Anwendungsaufgabe für „das grüne Ohr Lüneburgs“. Um diese Aufgabe zu lösen wird als Erstes das grüne Ohr in seiner Länge ausgemessen. Dasselbe wird mit dem Ohr eines beliebigen Menschen gemacht. Zusätzlich wird von dem Menschen die Körpergröße ermittelt. Anschließend wird die Länge des menschlichen Ohres durch die Länge des grünen Ohres dividiert. Der Quotient stellt das Verhältnis der beiden Längen dar. Zum Schluss wird die Körpergröße mit dem Verhältnis der beiden Ohren multipliziert. Das Produkt kann als ungefähre Größe des Menschen, dem das grüne Ohr gehört, interpretiert werden.

Da bei dieser Aufgabe auf das Verhältnis zwischen Ohr und Körpergröße geachtet werden soll, gibt es keine genaue Lösung. Das Verhältnis von Ohr und Körpergröße ist bei jedem Menschen unterschiedlich, weshalb die Lösung in einem Intervall liegt.

Welches didaktische Ziel verfolgt die Aufgabe?

Didaktisch dient die Aufgabe dazu, die inhaltsbezogenen Kompetenzen Raum und Form und Größen und Messen, sowie der prozessbezogenen Kompetenz mathematisches Modellieren zu vertiefen. Beim Modellieren geht es darum, einen Bezug zwischen der Mathematik und der Realität herzustellen. Dabei wird das Problem aus der Realität beginnend mit mathematischen Methoden gelöst und anschließend logisch überprüft. MathCityMap ist daher unterstützend, um Mathematik in der Umwelt und Kultur genauer wahrnehmen und anwenden zu können.

Wofür nutzen Sie MathCityMap?

Mit dem Ziel, zu Lernen die uns umgebene Welt aus einer mathematischen Perspektive zu sehen, erstellten wir einen eigenen mathematischen Rundgang durch die Hansestadt Lüneburg. MathCityMap nutzen wir daher als Hilfsmittel, damit Mathematikinteressierte aus der Region Lüneburg Aufgaben und Probleme aus der realen Welt mit einfachen mathematischen Mitteln bearbeiten können, um die eigenen mathematischen Kompetenzen zu steigern.

Die Aufgabe der Woche ist zurück aus der Sommerpause! Heute möchten wir Euch eine Aufgabe vorstellen, die während einer MCM-Lehrerfortbildung am Georg-Büchner-Gymnasium in Bad Vilbel entstand.

Am Rande des Schulgeländes steht die abgebildete Skulptur einer Wasserflasche. Da drängt sich uns die Frage, wie viele Liter Wasser das Kunstwerk fassen würde, förmlich auf. Zur Modellierung der Aufgabe „Füllmenge der Flasche“ nehmen wir eine Wandstärke von 3 cm an.

Wie kann die Füllmenge berechnet werden?

Zur Modellierung bietet sich die Zerlegung des Kunstwerkes in einen Kegelstumpf (Flaschenhals) und einen Kreiszylinder (Flaschenbauch) an. Wir betrachten die Flasche also als zusammengesetzten Körper.

Worauf zielt die Aufgabe ab?

Die Herausforderung der Aufgabe besteht darin, eine sinnvolle Zerlegung für das Kunstwerk zu finden, welche das Objekt einerseits mathematisch sinnvoll beschreibt, andererseits aber auch mit einen bewältigbaren Rechenaufwand einhergeht. Daher steht unsere Aufgabe der Woche exemplarisch für viele reale Modellierungsprobleme: In realen Sachzusammenhängen muss – anders als im Schulbuch – oftmals ein Kompromiss zwischen mathematischer Exaktheit und anwendungsorientierter Effizienz gefunden werden. Gesucht wird also eine hinreichende Genauigkeit zur Beschreibung des realen Objekts!

Wir freuen uns über die australischen Aufgaben, die Adi Nur Cahyono, Dozent für Mathematikdidaktik in Indonesien in Brisbane angelegt hat. Im Interview gibt er uns einen Eindruck seiner Aufgabe „Das Rad von Brisbane“.

Aufgabe: Das Rad von Brisbane (Aufgabennummer: 4638)

Wie viele Sekunden braucht eine Person in einer der Kabinen von der niedrigsten bis zur höchsten Stelle des Riesenrads, wenn die Geschwindigkeit 16km/h beträgt?

Worum geht es in dieser Aufgabe?

Die Aufgabe thematisiert das Konzept der Kongruenz um die Höhe des Riesenrads von Brisbane zu bestimmen. Es ist kombiniert mit dem Konzept von Zeit und Geschwindigkeit. Die Aufgabe soll zeigen, dass es viele verschiedene Aspekte am Objekt gibt und wie es mit mathematischen Konzepten zusammenhängt. Mathematische Konzepte können verwendet werden, um zu bestimmen, wann eine Person eine bestimmte Position am Rad erreicht hat. Natürlich ist das nicht besonders wichtig zu wissen, aber es ist eine Analogie zu ähnlichen Objekten, wie Windmühlen, Autoreifen, etc. Allgemein ist es eine gute und interessante Idee touristische Objekte für das Lernen von Mathematik auszuwählen.

Was sind die weiteren Pläne im MathCityMap-Projekt?

Meine Pläne und meine Aufgabe ist es, die Implementierung von MCM in Indonesien und weiteren asiatischen Ländern und Australien durch Kooperation mit Universitäten weiterzuführen. In Indonesien ist es notwendig die Implementierung auch in anderen Inseln neben Java durchzuführen. Da sich die Technik immer weiterentwickelt, werden auch neue Innovationen an Plätzen umgesetzt, wo MCM bereits implementiert wurde. Ich bin sehr froh weiterhin mit dem MCM Team vernetzt zu sein.

Unsere aktuelle Aufgabe der Woche haben wir im Rahmen der MNU-Tagung in München angelegt. Die Stadt bietet tolle architektonische Möglichkeiten MathCityMap einzusetzten. So zum Beispiel am Dianatempel im Hofgarten.

Aufgabe: Dachkuppel des Dianatempels (Aufgabennummer: 3157)

Bestimme die Größe der Dachfläche des Dianatempels! Gib das Ergebnis in m² an!

Man kann die Dachkuppel als Halbkugel modellieren und die gesuchte Größe mithilfe ihrer Oberfläche annähern. Dafür wird zunächst der Radius der Halbkugel mithilfe des Durchmessers am Boden bestimmt. Mithilfe der Formel für die Oberfläche einer Kugel bzw. dividiert durch zwei einer Halbkugel ergibt sich die Oberfläche. Um das Ergebnis dennoch exakt anzunähern sollten die überstehenden Steindreiecke abgezogen werden. Insgesamt sind es vier Dreiecke, deren Flächeninhalt aufgrund der Höhe geschätzt und abgezogen werden sollte.

Um verschiedene geometrische Körper zu modellieren bieten sich Brunnen und deren Wasserinhalt bestens an. Während viele Brunnen rechteckig oder kreisförmig angelegt sind und sich somit als Quader oder Zylinder annähern lassen, stellen wir in der aktuellen Aufgabe der Woche einen achteckigen Brunnen vor, dessen Volumen durch das eines Prismas mit achteckiger Grundfläche beschrieben werden kann.

Aufgabe: Wasser im Brunnen (Aufgabennummer: 4295)

Bestimmt annäherungsweise das Volumen des Brunnens. Du kannst annehmen, dass er eine durchschnittliche Tiefe von 30 cm hat. Gib das Ergebnis in Litern an.

Auch wenn die Formel für ein Achteck nicht bekannt ist, kann die Aufgabe durch geschicktes Zerlegen oder Ergänzen gelöst werden. Zum Beispiel kann zunächst die Fläche des Quadrats bestimmt werden, das das Achteck einschließt. Anschließend muss an den vier Ecken, die beim Quadrat zu viel berechnet wurden jeweils die Fläche eines Dreiecks abgezogen werden. Mithilfe der Höhe ergibt sich anschließend das Volumen.

Schlagwort: Aufgabe der Woche

Aufgabe der Woche: So viele Stufen!

Aufgabe der Woche: Die Zugangsrampe

Aufgabe der Woche: Das Kopfsteinpflaster

Aufgabe der Woche: Das Blumenbeet

Aufgabe der Woche: Das Gewicht der DCU

Aufgabe der Woche: Das grüne Ohr

Aufgabe der Woche: Füllmenge der Flasche

Aufgabe der Woche: Das Rad von Brisbane

Aufgabe der Woche: Dachkuppel des Dianatempels

Aufgabe der Woche: Wasser im Brunnen