Anzahl – MathCityMap

Anzahlen bestimmen – ein Thema, das bereits in der Primarstufe relevant ist. Für einen Einstieg in das Bestimmen von Anzahlen eigenen sich regelmäßig angeordnete Dinge wie z.B. Fenster an einem (Hoch-)Haus, Pflastersteine auf einem Gehweg oder Steine in einer Mauer.

Fensteranzahl am Haus bestimmen

Beim Bestimmen von Fenstern an Häusern kann man in vielen Fällen die Anzahl der Fenster pro Reihe und die Anzahl der Reihen zählen und erhält das Ergebnis per Multiplikation. Wichtig ist in der Aufgabenstellung deutlich zu machen, ob man nach Fenstern oder Fensterscheiben fragt, bzw. ob alle Fenster des Gebäudes gesucht sind oder z.B. nur Fenster an der Südfront.

Anzahl der Mauersteine bestimmen

Bei Mauern und rechteckig angeordneten Pflasterungen gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Man bestimmt die Anzahl n der Steine pro 1m² und rechnet das auf die Gesamtfläche A hoch.
Man bestimmt die Länge und Höhe der Mauer in „Stein-Einheiten“, d.h. man zählt die Anzahl der Steine in der Länge l und in der Breite b.

Kreisförmig angeordnete Steine mit Aussparung

Der Schwierigkeitsgrad erhöht sich, wenn man von rechteckigen Flächen abweicht und z.B. nach kreisförmig angeordneten Steinen fragt. Man kann die Bestimmung der Anzahl zudem erschweren, wenn man Objekte aussucht bei denen die Regelmäßigkeit an manchen Stellen unterbrochen ist und man so gezwungen ist, besondere Lösungsmethoden zu wählen.

Eine detaillierte Übersicht unserer Blaupausenaufgaben zum Thema Anzahlen bestimmen finden Sie im hinterlegten PDF Dokument.

Die heutige Aufgabe der Woche dient als Beispiel für eine Aufgabe, die Sie mit minimalem Aufwand mithilfe des Aufgaben Wizards erstellen können. Es geht darum, die Anzahl von Steinen in einer vorgegebenen rechteckigen Fläche zu bestimmen. Das Objekt hier ist eine Mauer, ähnliche Objekte können aber auch Straßenpflaster sein.

Aufgabe: Die Mauer (Aufgabennummer: 1077)

Bestimme die Anzahl der Steine der gepflasterten Mauerfront im markierten Bereich.

Zur Lösung der Aufgabe können die SchülerInnen auf verschiedene Arten vorgehen. Zum einen ist es möglich, die Anzahl der Steine in einem Quadratmeter zu bestimmen und die Länge und Höhe der rechteckigen Mauer zu messen. Bei dieser Lösung lässt sich die Genauigkeit dadurch erhöhen, dass die SchülerInnen mehrere Quadratmeter auszählen und anschließend den Mittelwert nehmen. Zum anderen können die SchülerInnen die Steine in der Länge und Höhe zählen und die Gesamtzahl mithilfe einer Multiplikation annähern.

Bei der Erstellung einer solchen Aufgabe mit dem Aufgaben Wizard müssen Sie lediglich die Länge und Höhe und die Anzahl der Steine in einem Quadratmeter eingeben sowie ein Foto und den Ort ergänzen. Der Aufgaben Wizard erstellt dann automatisch Hinweise und eine Musterlösung.

In der Aufgabe wird Wissen zum Rechteck benötigt. Sie ist im Bereich Geometrie einzuordnen und ab Klasse 6 einsetzbar.

Während in den vergangenen Wochen häufig Aufgaben vorgestellt wurden, die ab der Sekundarstufe 1 gelöst werden können, zeigt die heutige Aufgabe der Woche, dass das MathCityMap Projekt bereits ab der Primarstufe eingesetzt werden kann.

Aufgabe: Fensteranzahl (Aufgabennummer: 1191)

Wie viele Fensterscheiben sind auf dieser Häuserfront zu sehen?

Um die Aufgabe zu lösen, ist es möglich die Fensterscheiben zu zählen. Jedoch dauert dies lange, sodass die SchülerInnen bestenfalls auf die Idee kommen nur die Scheiben in einer Reihe sowie die Anzahl der Reihen zu zählen und die Aufgabe mittels einer Multiplikation zu lösen. Dabei wird die Grundvorstellung der Multiplikation als wiederholte Addition angesprochen. Zudem müssen die SchülerInnen beachten, dass nach der Anzahl der Scheiben und nicht der Fenster gefragt wird. Für ein Fenster müssen also drei Scheiben eingerechnet werden, sollten die SchülerInnen zunächst die Anzahl der Fenster zählen.

Die Aufgabe ist in den Themenbereichen Multiplikation, Zahl und Anzahl einzuordnen und kann ab Klasse 4 gelöst werden.

Im Fokus der heutigen Aufgabe der Woche steht eine kombinatorische Fragestellung. Neben der für die Kombinatorik typischen Fragestellung nach der Anzahl von Möglichkeiten verbirgt sich hier zudem eine Anwendung der Fibonacci Zahlen, die von den SchülerInnen entdeckt werden können.

Aufgabe: Kombinatorische Treppe (Aufgabennummer: 1199)

Wie viele Möglichkeiten gibt es den Treppensatz hochzulaufen, wenn man pro Schritt entweder eine oder zwei Stufen erklimmt? Die Schrittfolgen können auch kombiniert werden.

Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.

Die Aufgabe ist demnach ein gelungenes Beispiel für „versteckte“ Mathematik in einfachen Alltagsgegenständen. Sie bietet die Möglichkeit tiefer in den Themenkomplex der Fibonacci Zahlen einzusteigen bzw. diese von den SchülerInnen entdecken zu lassen. Nichtsdestotrotz kann die Aufgabe auch durch systematisches Probieren gelöst werden, sodass sie bereits ab Klasse 6 eingesetzt werden kann. Thematisch ist sie im Bereich Kombinatorik einzuordnen.

Diese Woche steht ein stochastisches Problem im Fokus der „Aufgabe der Woche“. Die Aufgabe nennt sich „Permutation am Fahrradständer“ und ist in dieser Form im Trail „Hubland Nord“ in Würzburg enthalten. Sie ist im System unter der Aufgabennummer 680 enthalten.

Aufgabe: Permutation am Fahrradständer

An den Fahrradständern sollen vier Fahrräder angeschlossen werden. Die Fahrräder können immer rechts oder links vom Ständer befestigt werden. Wie viele Möglichkeiten hat man die vier Fahrräder an den Ständern zu befestigen? Es spielt keine Rolle ob das Fahrrad „vorwärts“ oder „rückwärts“ parkt. Du darfst annehmen, dass die Ständer komplett leer sind.

Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, vier Fahrräder an die Fahrradständer anzuschließen. Dabei gibt es insgesamt acht Ständer und damit 16 Stellplätze. Auf dem Bild sind nicht alle Stellplätze zu sehen, damit das Kriterium der Präsenz bei der Aufgabe erfüllt ist und die SchülerInnen also tatsächlich nur vor Ort die Aufgabe lösen können. Für das erste Fahrrad gibt es dementsprechend 16 Möglichkeiten um das Fahrrad abzustellen. Da dieser Platz danach belegt ist, bleiben für das zweite Fahrrad noch 15 Möglichkeiten dieses anzuschließen. Analog geht erhält man für das dritte und vierte Fahrrad 14 und 13 Möglichkeiten. Bei diesem kombinatorischen Problem handelt es sich demnach um eine geordnete (die Reihenfolge berücksichtigende) Stichprobe ohne Zurücklegen. Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik (auch bekannt als Allgemeines Zählprinzip) ergibt sich per Multiplikation die Gesamtzahl der Möglichkeiten.

Die Aufgabe bietet eine gelungene Einbettung eines kombinatorischen Problems in die Realität. Sie lässt sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung zuordnen und kann ab Klasse 8 mit der Erarbeitung erster kombinatorischer Überlegungen eingesetzt werden. Auch insbesondere im Rahmen der Stochastik in der Oberstufe ist die Aufgabe zur Wiederholung grundlegender kombinatorischer Überlegungen geeignet. Dabei lässt sich die Aufgabe unkompliziert auf ähnliche Situationen (z.B. Parkplätze) übertragen.

Die heutige „Aufgabe der Woche“ befasst sich mit dem „Hammering Man“, einem Wahrzeichen der Frankfurter Messe, das durch seine kontinuierliche Hammerbewegung auffällt. Die Aufgabe ist Bestandteil des „Weihnachtstrails“ mit der Aufgabennummer 784.

Aufgabe: Hammering Man

Der „Hammering Man“ hämmert die ganze Zeit ohne Unterlass. Wie viele Hammerschläge führt der „Hammering Man“ im Monat Dezember aus?

Zur Lösung des Problems muss zunächst die Bewegung des „Hammering Man“ beobachtet und die Dauer eines Schlags (in Sekunden) bestimmt werden. Dies gelingt am besten in dem man die Zeit für 10 Schlagzyklen bestimmt. Anschließend wird die Anzahl der Sekunden für einen Tag und für den Monat Dezember bestimmt. Mithilfe einer Division kann so die Anzahl der Schläge im Monat Dezember bestimmt werden.

In der Aufgabe geht es darum, die Frequenz einer periodischen Bewegung mithilfe einer Zeitmessung zu bestimmen. So gesehen ist auch dies eine Beispielaufgabe (Blaupause), wie man sie auch an anderen Orten findet, bei denen sich Dinge periodisch bewegen. Insbesondere die Zeiteinheiten Sekunde, Tag und Monat und deren Umrechnung werden bei dieser Aufgabe thematisiert. Dabei spielen die Rechenoperationen Division und Multiplikation eine Rolle. Die Verwendung der Aufgabe ist ab Klasse 4 empfohlen.

Die Aufgabe zeichnet sich insbesondere dadurch aus, dass sie die Präsenz und Aktivität (Messung der Dauer eines Schlags) der Schülerinnen und Schüler erfordert. Ebenso handelt es sich um eine Aufgabenstellung aus dem alltäglichen Leben, die ohne besondere Hilfsmittel gelöst werden kann. Die Aufgabe bietet ferner eine gelungene Möglichkeit zur Differenzierung, da die Schülerinnen und Schüler bei Bedarf auf bis zu drei Hinweise zurückgreifen können. Die Musterlösung zur Aufgabe befindet sich bei der Aufgabe im Portal.

Schlagwort: Anzahl

Blaupausenaufgaben: Anzahlen bestimmen

Aufgabe der Woche: Die Mauer

Aufgabe der Woche: Fensteranzahl

Aufgabe der Woche: Kombinatorische Treppe

Aufgabe der Woche: Permutation am Fahrradständer

Aufgabe der Woche: Hammering Man