Aufgabe der Woche – Seite 13

Im Fokus der heutigen Aufgabe der Woche steht eine kombinatorische Fragestellung. Neben der für die Kombinatorik typischen Fragestellung nach der Anzahl von Möglichkeiten verbirgt sich hier zudem eine Anwendung der Fibonacci Zahlen, die von den SchülerInnen entdeckt werden können.

Aufgabe: Kombinatorische Treppe (Aufgabennummer: 1199)

Wie viele Möglichkeiten gibt es den Treppensatz hochzulaufen, wenn man pro Schritt entweder eine oder zwei Stufen erklimmt? Die Schrittfolgen können auch kombiniert werden.

Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.

Die Aufgabe ist demnach ein gelungenes Beispiel für „versteckte“ Mathematik in einfachen Alltagsgegenständen. Sie bietet die Möglichkeit tiefer in den Themenkomplex der Fibonacci Zahlen einzusteigen bzw. diese von den SchülerInnen entdecken zu lassen. Nichtsdestotrotz kann die Aufgabe auch durch systematisches Probieren gelöst werden, sodass sie bereits ab Klasse 6 eingesetzt werden kann. Thematisch ist sie im Bereich Kombinatorik einzuordnen.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um geometrische Figuren. In der Aufgabe „Blechzylinder am Rhein“, lokalisiert in Köln, geht es um die Bestimmung des Radius eines Zylinders durch Messungen bzw. den Zusammenhang von Radius und Umfang eines Kreises.

Aufgabe: Blechzylinder am Rhein (Aufgabennummer: 1183)

Bestimme den Radius des Blechzylinders. Gib das Ergebnis in m an.

Die Aufgabe kann auch verschiedene Arten gelöst werden. Eine Möglichkeit ist den Zusammenhang von Kreisumfang und Durchmesser bzw. Radius auszunutzen. Das Ergebnis ergibt sich dann per Messung des Umfangs. Alternativ kann der Radius mithilfe des Zollstocks und geeignetes Anlegen (hier spielen der rechte Winkel sowie die Idee der Tangente eine Rolle) ermittelt werden.

Die Aufgabe ist dementsprechend in den Themenkomplex Kreis einzuordnen, dabei insbesondere bei der Formel zur Berechnung des Umfangs. Nichtsdestotrotz zeigt die Aufgabe, dass sich mathematische Aufgaben oft auf verschiedene Arten und ohne Kalkül lösen lassen. Obwohl die Aufgabe kein tiefgehendes Wissen zum Zylinder verlangt (abgesehen davon, dass die Grundfläche kreisförmig ist), kann die Aufgabe gerade in diesem Aspekt punkten und eine Verzahnung von ebener und räumlicher Geometrie verdeutlichen.

Sie ist ab Klasse 9 mit Erarbeitung des Kreises einzusetzen.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um eine Skulptur in Form einer Hand. Sie ist in dieser Form im Dillfeld Trail in Wetzlar zu finden. Ziel der Aufgabe ist es, die Körpergröße des Menschen zu bestimmen, zu dem diese Hand passt.

Aufgabe: Die Hand (Aufgabennummer: 1092)

Wie groß müsste ein Mensch in Metern sein, der eine Hand dieser Größe hat?

Dabei sollten die SchülerInnen einen für sie gut erreichbaren Finger nachmessen. Insbesondere der Daumen bietet sich dafür an. Wie lässt sich nun von der Daumengröße auf die Körpergröße schließen? Zum Umrechnen kann der eigene Körper eine Rolle spielen, indem die Daumengröße und die Körpergröße ins Verhältnis gesetzt werden. Anschließend ergibt sich die Körpergröße des Menschen mit der abgebildeten Hand. Da die SchülerInnen im besten Fall in kleinen Gruppen unterwegs sind, ist es unter Umständen sinnvoll, das Verhältnis von Daumen und Körpergröße mehrfach zu ermitteln und den Mittelwert zu nehmen.

Die SchülerInnen verwenden also die Idee des Messens bei ihrem eigenen Körper und der Handskulptur. Insbesondere Verhältnisse und Größen spielen dabei eine Rolle. Die Aufgabe kann ab Klasse 6 mit der Erarbeitung von Verhältnissen eingesetzt werden.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um das Hydrantenschild, das im alltäglichen Leben sicherlich schon häufig wahrgenommen wurde. Mithilfe von ihnen lassen sich Hydranten (hier: Unterflurhydranten), z.B. für Löscharbeiten schnell und präzise lokalisieren. Aber wie genau ist ein solches Schild zu lesen? Damit beschäftigen sich die SchülerInnen in der Aufgabe „Hydrant gesucht“ aus dem Trail „Campus Griebnitzsee“ in Potsdam.

Aufgabe: Hydrant gesucht (Aufgabennummer: 1047)

Am Haus ist ein Hinweis auf den nächsten Hydranten angebracht (rot-weißes Schild). Wie weit ist der Hydrant vom Schild in Metern entfernt? Gib das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle gerundet an.

Um die Aufgabe lösen zu können, muss zunächst das Schild richtig interpretiert werden. Falls die SchülerInnen dieses nicht kennen, helfen ihnen die Hinweise weiter. Die Angabe auf dem Schild ist so zu lesen, dass man eine gewisse Länge in Metern in eine Richtung (links/rechts) läuft und dann rechtwinklig abbiegt und wiederum die Länge der zweiten Zahl in Meter läuft. Die Situation kann somit mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks beschrieben und gelöst werden. Die beiden Angaben auf dem Hydrantenschild (hier im Bild unkenntlich gemacht, um die Präsenz der SchülerInnen zu gewährleisten) stellen die Katheten dar, während der direkte Abstand der Hypotenuse entspricht. Diese kann mithilfe des Satz‘ des Pythagoras ermittelt werden. Das Ergebnis kann zudem durch Messen der Entfernung zum Hydranten ermittelt oder überprüft werden. Die Aufgabe ist demnach der Geometrie zuzuordnen und kann ab Klasse 9 mit Erarbeitung des Satz‘ des Pythagoras als praktische Anwendung für diesen eingesetzt werden. Da Hydrantenschilden an vielen Orten zu finden sind, lässt sich die Aufgabe problemlos auf andere Standorte übertragen und ermöglicht ein einfaches Betreiben von Mathematik in der Umwelt.

Diese Woche möchten wir Ihnen die Aufgabe „Auf großem Fuße“ vorstellen. Sie ist unweit des Hamburger Hauptbahnhofs lokalisiert und Teil des Trails „In und um St. Georg“.

Aufgabe: Auf großen Fuße (Aufgabennummer: 647)

Diese Figuren stammen von dem zeitgenössischen deutschen Bildhauer Stephan Balkenhol. Das nur nebenbei. Ich möchte von euch wissen: Welche Schuhgröße hat der Mann? Bei Schuhgrößen gibt es weltweit vier Systeme, die sich für die Auszeichnung durchgesetzt haben. In Deutschland sind die europäischen Schuhgrößen das gebräuchliche Maß. Sie basieren auf dem sogenannten „Pariser Stich“. Der Stich ist ein Längenmaß, mit dem ein Schuhmacher die Länge des Leistens angibt und somit auch die Schuhgröße des fertigen Schuhs. Ein französischer Stich oder Pariser Stich ist ⅔ Zentimeter groß. Der Leisten ist ein Formstück aus Holz, Kunststoff oder Metall, das der Form eines Fußes nachempfunden ist und zum Bau eines Schuhs verwendet wird. Da die Füße nach vorne etwas „Luft“ haben sollte, entspricht die Leistenlänge etwa der Fußlänge + 15 mm.

Für die Aufgabe messen die SchülerInnen zunächst die Länge des Schuhs des Mannes und rechnen die Länge in „Stiche“ um, damit die europäische Schuhgröße angegeben werden kann. Eine Hauptkomponente der Aufgabe ist somit die Messung und Umrechnung von Größen. Dabei wird auf die Einheit des Stichs zurückgegriffen, die den meisten SchülerInnen unbekannt sein sollte. Grundsätzlich lässt sie sich ab Klasse 6 einsetzen. Bei der Umrechnung lassen sich zudem erste proportionale Grundideen formulieren und könnten eine geeignete Überleitung zur Proportionalität und zum Dreisatz darstellen.

Die Aufgabe wurde von Dunja Rohenroth erstellt. Sie konnte diese Aufgabe bereits mit ihren SchülerInnen testen und sieht in dieser Aufgabe den besonderen Vorteil, dass das Ergebnis nicht mithilfe einer Internetrecherche gelöst werden kann. Die Aspekte der Präsenz und Aktivität der SchülerInnen werden damit besonders hervorgehoben.

Die “Aufgabe der Woche” führt heute ins französische Lyon, enthalten im Trail „IFE“. Sie befasst sich mit einer Flächenberechnung der besonderen Art und zeigt auf spannende Art und Weise, welch vielfältige mathematische Ideen in alltäglichen Objekten stecken.

Aufgabe: Schlangenfläche (Aufgabennummer: 1129)

Das Metallgeländer der Feuertreppe hat die Form einer Schlangenlinie. Berechnen Sie die Oberfläche in m².

Bevor die SchülerInnen mit der Lösung des Problems beginnen können, müssen vorbereitende Überlegungen getroffen werden, z.B. ob die Steigung des Geländers relevant ist oder welche aus dem Unterricht bekannten Formeln zur Bestimmung der Länge des Geländers verwendet werden können. Dabei sollten die Schülerinnen erkennen, dass sich beim Abrollen der Geländerfläche die Form eines Parallelogramms ergibt. Bei zwei Rotationen der Treppe entspricht die Höhe dieses Parallelogramms gerade zweimal dem Umfang des Kreises mit der Stufenlänge als Radius. Mithilfe der Höhe des Geländers als Grundseite des Parallelogramms ergibt sich der Flächeninhalt der Schlangenfläche.

Es handelt sich damit um eine geometrische Fragestellung, die die Leitideen „Raum und Form“ und „Messen“ verbindet, indem die SchülerInnen geometrische Strukturen in der Umwelt erkennen sowie Größen messen und mithilfe dieser Berechnungen durchführen. Die Aufgabe ist insbesondere dem Themenkomplex „Kreis“ sowie dem Flächeninhalt von Parallelogrammen zuzuordnen und kann damit mit Behandlung der Formel für den Kreisumfang ab Klasse 8 eingesetzt werden.

Zudem zeigt die Aufgabe, dass viele Objekte vielfältige Fragestellungen motivieren können. Neben der Frage nach dem Flächeninhalt wäre es z.B. auch möglich, die Steigung des Geländers berechnen zu lassen.

Diese Woche dreht sich die „Aufgabe der Woche“ um eine typische Anwendung der Strahlensätze. Insbesondere geht es dabei um die Höhenbestimmung von Objekten mithilfe der Strahlensätze. Dieser Aufgabentyp lässt sich auf viele verschiedene Objekte übertragen und findet sich dementsprechend in einigen MathCityMap Trails. Im hier beschriebenen Beispiel geht es um die Höhenbestimmung der Laternen im Erlangener Schlossgarten aus dem Trail „Rund um den Erlangener Schlossgarten“.

Aufgabe: Beleuchtung des Schlossgartens (Aufgabennummer: 709)

Bestimme näherungsweise die Höhe der im Schlossgarten aufgestellten zweiflammigen Bogenlampen in der Einheit cm.

Um die Aufgabe zu lösen, wird der zweite Strahlensatz benötigt. Dafür positionieren sich die SchülerInnen wenige Meter vom Objekt entfernt und fixieren das Objekt. Anschließend kann mithilfe des Zollstocks der Strahlensatz zur Anwendung gebracht werden. Dafür sind die Augenhöhe sowie der Abstand zum Objekt zu messen. Mit ausgestrecktem Arm wird der Zollstock so gehalten, dass sich die Zollstockspitze mit dem oberen Ende der Laterne deckt. Die Länge des ausgestreckten Arms und die Maßstabslänge, die der Laternenhöhe ab Augenhöhe entspricht, führen zur Höhe der Laterne.

Es handelt sich hierbei um eine Problemlösesituation, in der zunächst fehlende Größen durch eine geeignete Ausgangssituation ermittelt werden müssen. Die Anwendung des Strahlensatzes kann dabei insbesondere durch die Anfertigung einer Skizze erleichtert werden. Die Aufgabe eignet sich insbesondere um den SchülerInnen die praktische Anwendung des Strahlensatzes aufzuzeigen und dem Kalkül eine inhaltliche Bedeutung zu verleihen.

Dass das MathCityMap Projekt bereits international implementiert ist, zeigt die aktuelle „Aufgabe der Woche“ aus dem Trail „La Doua“ in Lyon, Frankreich. Die Aufgabe ist im Original in Französisch gestellt und wird hier zur Analyse übersetzt.

Aufgabe: Gewicht des Quai 43 (Aufgabennummer: 855)

Das Gebäude „Quai 43“ hat die Form eines Ozeandampfers, der auf zehn Betonsäulen steht. Schätzen Sie das Gewicht dieses Baus in Tonnen (Stahlbeton wiegt 2.5t/m³).

Um das Gewicht zu schätzen ist es notwendig die Volumina der einzelnen Wände und Platten des Gebäudes zu bestimmen. Dafür werden zunächst die Länge und Breite des Gebäudes mithilfe von Messungen ermittelt. Anschließend können die Grundfläche und der Umfang des Gebäudes (idealisiert als Rechteck) bestimmt werden. Das Gebäude beinhaltet zwei Etagen, daher kommt die Grundfläche dreimal vor. Zur Berechnung des Volumens der Wände und Platten des Gebäudes müssen noch die Höhe des Gebäudes sowie die Dicke einer Wand/Platte angenähert werden. Anschließend können die SchülerInnen die verschiedenen Volumina durch die Volumenformel des Quaders bestimmen. Mithilfe einer Multiplikation mit der Dichte von Beton ergibt sich das angenäherte Gewicht des Gebäudes.

Es handelt sich hierbei demnach um eine geometrische und architektonische Fragestellung, die sowohl das Messen von Längen, als auch das Berechnen von Körpervolumen beinhaltet. Dabei steht vor allem das Modellieren im Vordergrund, da die Form des Gebäudes zur Berechnung einem Quader angenähert wird. Anschließend müssen die SchülerInnen überlegen, welche Wände und Platten für das Gewicht des Gebäudes relevant sind. Die Aufgabe kann ab Klasse 7 eingesetzt werden, insbesondere in Zusammenhang mit Quadern und zusammengesetzten Körpern.

Diese Aufgabe ist nur eines von vielen Beispielen, die zeigen, dass das MathCityMap Projekt ein länderübergreifendes Projekt ist, das sich insbesondere durch seine universelle Einsetzbarkeit an sämtlichen Orten auszeichnet.

Die „Aufgabe der Woche“ stammt dieses Mal aus dem Trail „Rund um den Erlangener Schlosspark“. Sie nennt sich „Denkmal Erlangen/Brüx“ und hat im Portal die Aufgabennummer 704. Thematisch kann die Aufgabe in den Bereich Parabeln eingeordnet werden und ist dementsprechend ab Klasse 9 einsetzbar.

Aufgabe: Denkmal Erlangen/Brüx

Untersuche, ob es sich bei dem „Bogen“, der im unteren Viertel des steinernen Denkmals zu erkennen ist, um eine Parabel y= -ax² handelt. Wenn nein, so gib a=0 als Lösung ein, wenn ja, gib den ermittelten Wert von a ein.

Die Aufgabe wurde von Jürgen Hampp erstellt. Im folgenden Interview gibt er einen Einblick, wie es zur Idee der Aufgabe kam und welche Zielsetzung mit der Aufgabe verbunden werden kann. An dieser Stelle möchten wir Herrn Hampp für die Antworten zu seiner Aufgabe herzlich danken.

Wie kam Ihnen die Idee diese Aufgabe in den Trail einzubauen?

Es ging mir darum, einen Trail zu entwickeln, der von unserem Schulhaus, dem Christian-Ernst-Gymnasium in Erlangen, fußläufig schnell zu erreichen ist und trotz der Innenstadtlage durch einigermaßen autofreie Bereiche führt. Da sind die möglichen Objekte natürlich nicht so reichlich vorhanden. Das Denkmal Erlangen/Brüx hat unter diesen Gesichtspunkten eine optimale Lage, das Vermessen ist gefahrlos möglich – man muss nicht irgendwo hochklettern oder ähnliches – und es genügen einfachste Hilfsmittel.

Worin sehen Sie die Besonderheit der Aufgabe? Welche Fertigkeiten/Vorstellungen werden Ihrer Meinung nach besonders gefördert?

Ich möchte den “mathematischen Blick” schulen, d.h. das Erkennen mathematischer Objekte in der Alltagsumgebung und auch die Beschäftigung mit diesen Objekten unter Verwendung der aus dem Unterricht bekannten Methoden. Bei diesem Objekt wird vor allem der Kompetenzbereich K3 “Mathematisch modellieren” gefördert. Quadratische Funktionen (Thema der 9.Klasse) bieten sich hierfür natürlich besonders an. Die üblichen Aufgaben mit Springbrunnen wollte ich nicht nehmen, da sie nicht immer in Betrieb sind, der Wasserdruck schwanken kann und das Ausmessen schwierig ist. Der besondere Reiz dieser Aufgabe besteht für mich zudem darin, dass es keine klare Lösung wie bei üblichen Schulbuchaufgaben gibt. Ungenauigkeiten bei der Vermessung des Objekts wie auch Abweichungen beim Objekt selbst erfordern geschicktes Bilden von Mittel- und Näherungswerten.

Die heutige „Aufgabe der Woche“ führt nach Hamburg, genauer an die Stadtteilschule Am Heidpark, wo der Trail „Am Heidpark“ angelegt ist. Dieser Trail macht besonders gut deutlich, dass ein Schulhof bereits ideale Bedingungen für einen MathCityMap Trail schaffen kann. Die daraus gewählte „Aufgabe der Woche“ nennt sich „Kletterwand“ und hat die Aufgabennummer 668.

Aufgabe: Kletterwand

Bestimme die Steigung der Kletterwand in Prozent.

Die Aufgabe bietet eine reale Einbettung des Themas Steigung von linearen Funktionen. Die Steigung der Kletterwand lässt sich dabei durch Rückgriff auf das Steigungsdreieck bestimmen. Im Koordinatensystem wird die Steigung einer linearen Funktion über zwei Punkte der Funktion bestimmt, genauer über die Differenz der y-Koordinaten (dy) und die Differenz der x-Koordinaten (dx) mit anschließender Division. Im realen Kontext ist es dementsprechend notwendig den Höhenunterschied (dy) sowie den Längenunterschied (dx) in der Horizontalen zu messen. Anschließend lässt sich mithilfe einer Division die Steigung der Kletterwand bestimmen, welche im letzten Schritt noch in Prozent umgewandelt werden muss. Die Aufgabe kann ab Klasse 8 eingesetzt werden und fördert ein inhaltliches Begriffsverständnis der Steigung einer linearen Funktion und deren Berechnung über Steigungsdreiecke. Die Aufgabe ist besonders gut als Einstieg in das Thema geeignet, da sie das rechtwinklige Steigungsdreieck bereits „vorgibt“. Weiterführende Aufgaben können sich dann z.B. mit der Steigung von einem Treppenhandlauf beschäftigen. Die Aufgabe stellt eine Verbindung von Algebra und Geometrie dar und lässt sich insbesondere den Leitideen Messen und Funktionaler Zusammenhang zuordnen.

Kategorie: Aufgabe der Woche

Aufgabe der Woche: Kombinatorische Treppe

Aufgabe der Woche: Blechzylinder am Rhein

Aufgabe der Woche: Die Hand

Aufgabe der Woche: Hydrant gesucht

Aufgabe der Woche: Auf großem Fuße

Aufgabe der Woche: Schlangenfläche

Aufgabe der Woche: Beleuchtung des Schlossgartens

Aufgabe der Woche: Gewicht des Quai 43

Aufgabe der Woche: Denkmal Erlangen/Brüx

Aufgabe der Woche: Kletterwand