Aufgabe der Woche – Seite 12

Die heutige Aufgabe der Woche betrachtet eine geometrische Fragestellung am Aasee in Münster. Genauer geht es dabei um den Oberflächeninhalt einer Halbkugel, der von den SchülerInnen berechnet werden soll.

Aufgabe: Pilz (Aufgabennummer: 1400)

Bestimme die Fläche eines Fliegenpilzschirms. Gib das Ergebnis in dm² an. Runde auf eine Dezimale.

Um die Aufgabe zu lösen müssen die SchülerInnen die Form zunächst als Halbkugel annähern und erkennen. Anschließend benötigen sie die Formel zur Berechnung der Kugeloberfläche bzw. hier der Halbkugeloberfläche. Zur Bestimmung wird lediglich der Radius der Halbkugel benötigt. Da er nicht direkt gemessen werden kann, lässt sich dieser am besten über den Umfang ermitteln.

Die Aufgabe erfordert Wissen zum Kreis und zur Kugel und kann dementsprechend ab Klasse 9 im Bereich der Körpergeometrie eingesetzt werden.

Viele der Aufgaben aus dem MCM-Portal beziehen sich auf mathematisches Wissen aus der Sekundarstufe I. Die heutige Aufgabe der Woche zeigt, dass sich auch Wissen aus der Sekundarstufe II in Aufgaben wiederfinden lässt. In der Aufgabe „Hublandbrücke I“ geht es insbesondere um den Wendepunkt einer Funktion sowie seine Eigenschaften.

Aufgabe: Hublandbrücke I (Aufgabennummer 684)

Auf welcher Stufe (von unten gezählt) befindet sich der Wendepunkt?

Zunächst muss die Brücke gedanklich als Funktion modelliert werden. Zur optischen Bestimmung des Wendepunkts verwenden die SchülerInnen die Eigenschaften des Wendepunkts. Dabei kann die Eigenschaft helfen, dass der Wendepunkt hier der Punkt mit maximaler Steigung und ohne Krümmung ist. Die maximale Steigung kann bei Vorhandensein des Geräts auch mithilfe eines Steigungsmessers bestimmt werden (vgl. Hublandbrücke II). Den Wendepunkt als Punkt ohne Krümmung kann man optisch so bestimmen, indem man die Stelle sucht, an dem der Graph einer Geraden ähnelt. Nachdem der Wendepunkt bestimmt wurde, müssen die SchülerInnen die Treppenstufen bis dorthin zählen. Am besten gelingt dies, wenn dies mehrfach erfolgt und der Mittelwert gebildet wird.

Die Aufgabe lässt sich dem Themenbereich Analysis zuordnen, genauer der Differentialrechnung. Mit Erarbeitung der Eigenschaften des Wendepunkts einer Funktion kann die Aufgabe ab Klasse 11 eingesetzt werden.

Die heutige „Aufgabe der Woche“ stammt von Markus Heinze aus dem Trail „Schillergymnasium“ in Bautzen und kombiniert Prozentrechnung mit einer geometrischen Fragestellung.

Aufgabe: Prozentrechnung zum Eingang (Aufgabennummer: 1262)

Bestimme wie viel Prozent der Eingangstüren mit Glas ausgestattet sind.

Herr Heinze stand freundlicherweise für ein kurzes Interview zur Verfügung, sodass wir hier seine Einschätzung und Erfahrungen mit der Aufgabe vorstellen können. Dafür möchten wir uns herzlich bedanken!

Wie kam Ihnen die Idee zu dieser Aufgabe?
Ich wollte verschiedene Aufgabentypen erstellen für eine 8te oder 7te Klasse. Ich hatte eine Freistunde jedoch regnete es genau zu dieser Zeit. Deswegen stand ich zunächst am Eingang und überlegte, wie könnte man die Eingangstür einbauen und so ist die Idee entstanden, Dreiecksflächen und Prozentrechnung zu verbinden.

Welche mathematischen Fertigkeiten und Kompetenzen sollen bei der Aufgabe angesprochen werden?
Zum einen ist natürlich das Modellieren und Problemlösen im Vordergrund, denn ich hatte gerade in der 8ten Klasse beim Kompetenztest in diesem Bereich bei den Schülern Defizite feststellen können. Aber auch das Anschauungsvermögen wird natürlich gestärkt, da mit realen Objekten gearbeitet wird und die Schüler so eine Vorstellung von Flächen und Prozenten erhalten.

Wurde die Aufgabe bereits von SchülerInnen gelöst? Wenn ja, welches Feedback wurde zu dieser Aufgabe gegeben?
Die Aufgabe wurde von Schülern einer 9ten Klasse gelöst und sie empfanden sie als relativ einfach aber interessant, dies liegt aber auch daran, dass sie zuvor noch nicht mit der App gearbeitet hatten und generell begeistert bei der Sache waren. Ich denke für eine 7te oder 8te Klasse ist sie genau richtig.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um Vielecke und geometrische Figuren. Dabei spielt insbesondere das Prisma mit einer sechseckigen Grundfläche eine Rolle. Die Aufgabe befindet sich in dieser Form in Köln, kann jedoch ohne Probleme auch ähnliche Objekte übertragen werden.

Aufgabe: Blumenkübel (Aufgabennummer: 1189)

Wie groß ist das Volumen des Blumenkübels? Du darfst annehmen dass der Boden genauso dick ist wie der Rand des Kübels. Gib das Ergebnis in Litern an.

Wie bereits erwähnt kann die Grundfläche als regelmäßiges Sechseck angenommen werden. Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche können die SchülerInnen entweder die Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks verwenden oder die Fläche in geeignete Teilflächen aufteilen. Dabei ist zu beachten, dass der Rand nicht zum Volumen dazuzählt. Anschließend messen die SchülerInnen die Höhe des Prismas, wobei sie die Bodenplatte abziehen müssen. Anschließend ergibt sich durch Multiplikation das Volumen des Prismas, das im letzten Schritt noch in Liter umgewandelt wird.

Die Aufgabe beinhaltet damit eine geometrische Fragestellung, bei der die SchülerInnen entweder ihr Wissen zu regelmäßigen Vielecken oder zu zusammengesetzen Flächen anwenden können. Zudem werden räumliche Figuren thematisiert sowie die Anpassung an reale Gegebenheiten durch Beachten des Rands. Die Aufgabe ist ab Klasse 8 empfohlen.

Die heutige Aufgabe der Woche führt nach Münster und beinhaltet eine Fragestellung aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Aufgabe: Rot oder Grün? (Aufgabennummer: 428)

Die Stadt Münster versucht alles, um den Straßenverkehr so reibungslos wie möglich zu gestalten. Es gibt sogar eine Ampel-Hotline, bei der man Verbesserungsvorschläge äußern kann. Trotz all der guten Planung steht man als Fußgänger immer wieder vor einer roten Ampel. Häufig fallen einem eher die roten und weniger die grünen Ampeln auf. Schätze, wie oft eine Ampel „Grün“ zeigt, wenn man 100 Mal an der Ampel vorbeikommt.

Um die Aufgabe zu lösen, sollten die SchülerInnen zunächst die Dauer einer Grünphase, sowie die einer Rotphase messen. Die Dauer einer Gesamtphase ergibt sich dann über die Länge einer Grün- und einer Rotphase. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen bei Grün an die Ampel zu kommen, teilt man die Dauer der Grünphase durch die Dauer eines kompletten Ampeldurchlaufs. Anschließend kann der Erwartungswert bei 100maligem Vorbeikommen gebildet werden.

Dieser Lösungsweg führt zu einer theoretischen Lösung, die jedoch kritisch hinterfragt werden sollte. Je nach Ampelschaltung und eventuell vorher überquerten Ampeln kann das Ergebnis, sowie die Zufälligkeit des Ankommens beeinflusst werden. Nichtsdestotrotz ist die Aufgabe eine gelungene Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Alltag und kann mit ersten Erarbeitungen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs eingesetzt werden.

Die dieswöchige Aufgabe der Woche spricht insbesondere die Modellierungskompetenz der SchülerInnen an. Es geht darum, das Gewicht eines Steins möglichst genau zu approximieren, indem der Stein durch einen bekannten Körper angenähert wird.

Aufgabe: Stein (Aufgabennummer: 1048)

Wie schwer ist der Stein? 1cm³ wiegt 2,8g. Gib das Ergebnis in kg an.

Um das Objekt mithilfe eines geometrischen Grundkörpers anzunähern müssen die SchülerInnen von geringen Abweichungen des realen Objekts und des idealen Körpers absehen. Dabei eignet sich insbesondere ein Prisma mit trapezförmiger Grundseite. Ist dieser Schritt getan, so ermitteln die SchülerInnen mithilfe von Messungen die für diesen Körper relevanten Seiten und berechnen anschließend sein Volumen. Im letzen Schritt folgt die Berechnung des Gewichts mit der angegebenen Dichte sowie die Umrechnung in Kilogramm.

Bei dieser Aufgabe zeigt sich besonders schön, dass es für mathematische Fragestellungen nicht immer nur ein richtiges Ergebnis gibt. Durch unterschiedliche Annäherungen und Messungen erhalten die SchülerInnen abweichende Ergebnisse. Um dennoch ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten müssen die ermittelten Werte in einem festgelegten Intervall liegen. Auch das Übersetzen von der Realität in die „mathematische Welt“ spielt hier im Sinne der Modellierungskompetenz eine entscheidende Rolle.

Die Aufgabe erfordert Wissen über die geometrischen Grundkörper und insbesondere über das Prisma mit trapezförmiger Grundfläche. Sie ist demnach in der räumlichen Geometrie einzuordnen und kann ab Klasse 7 gelöst werden.

In der heutigen Aufgabe der Woche werden die römischen Zahlen genauer betrachtet, eine Schreibweise für die natürlichen Zahlen, die in der römischen Antike entstanden ist. Insbesondere an alten Gebäuden ist eine Kennzeichnung des Baujahres in römischen Zahlen üblich. Die Aufgabe befindet sich in der Wetzlarer Innenstadt und ist im Trail „Mathe in Wetzlar“ zu finden. Dort sind die römischen Zahlen in einen Spruch an einer Hausfassade eingearbeitet.

Aufgabe: Alte Münz (Aufgabennummer: 545)

In der Inschrift am Haus „Alte Münz“ (Eisenmarkt 9) sind einige Buchstaben auffallend groß geschrieben. Addiere die Werte der Buchstaben im römischen Zahlensystem.

Dabei müssen die SchülerInnen die größer geschriebenen römischen Zahlen erkennen und notieren, welche Zahl wie oft vorkommt. Anschließend werden die verschiedenen römischen Zahlen in die arabische Schreibweise übersetzt und addiert. Die römischen Zahlen als Schreibweise für die natürlichen Zahlen werden in der Regel in Klasse 5 erarbeitet und können ab diesem Zeitpunkt verwendet werden. Dabei stehen hier weniger die Rechenregeln mit römischen Zahlen im Vordergrund, als die Übersetzung von römischen und arabischen Zahlen.

Während in den vergangenen Wochen häufig Aufgaben vorgestellt wurden, die ab der Sekundarstufe 1 gelöst werden können, zeigt die heutige Aufgabe der Woche, dass das MathCityMap Projekt bereits ab der Primarstufe eingesetzt werden kann.

Aufgabe: Fensteranzahl (Aufgabennummer: 1191)

Wie viele Fensterscheiben sind auf dieser Häuserfront zu sehen?

Um die Aufgabe zu lösen, ist es möglich die Fensterscheiben zu zählen. Jedoch dauert dies lange, sodass die SchülerInnen bestenfalls auf die Idee kommen nur die Scheiben in einer Reihe sowie die Anzahl der Reihen zu zählen und die Aufgabe mittels einer Multiplikation zu lösen. Dabei wird die Grundvorstellung der Multiplikation als wiederholte Addition angesprochen. Zudem müssen die SchülerInnen beachten, dass nach der Anzahl der Scheiben und nicht der Fenster gefragt wird. Für ein Fenster müssen also drei Scheiben eingerechnet werden, sollten die SchülerInnen zunächst die Anzahl der Fenster zählen.

Die Aufgabe ist in den Themenbereichen Multiplikation, Zahl und Anzahl einzuordnen und kann ab Klasse 4 gelöst werden.

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um eine geometrische Fragestellung. Dabei geht es um die Flächenberechnung der Dachfläche des abgebildeten Pavillons.

Aufgabe: Pavillon (Aufgabennummer: 665)

Bestimme die Dachfläche des Pavillons! Gib das Ergebnis in m² an.

Dafür sollen die SchülerInnen erkennen, dass die Dachfläche aus mehreren gleichschenkligen Dreiecken besteht. Es genügt also die Höhe und Grundseite eines Dreiecks zu messen und mithilfe der Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken den Flächeninhalt zu berechnen. Anschließend kann die Gesamtfläche durch Multiplikation mit der Anzahl der Dreiecke ermittelt werden.

Zur Lösung der Aufgabe müssen die SchülerInnen also mit der Flächenberechnung bei Dreiecke vertraut sein. In der Aufgabe wird der „geometrische Blick“ geschult, indem die Dreiecksform in einer zusammengesetzten Figur erkannt wird. Hier findet sich ein wesentlicher Aspekt von Mathematik außerhalb des Klassenraums, nämlich das Erkennen von mathematischen Begriffen und Objekten in der Realität, sowie die Nutzung von mathematischem Wissen zur Lösung alltäglicher Fragestellungen. Das Lösen der Aufgabe ist ab Klasse 6 mit Erarbeitung des Themenbereichs Dreiecke möglich.

Dass sich in vielen Verkehrsschildern eine geometrische Fragestellung finden lässt zeigt die heutige Aufgabe der Woche. Dabei geht es um das kreisförmige „Durchfahrt verboten“ Schild und insbesondere um die Frage nach dem Verhältnis von roter und weißer Fläche.

Aufgabe: Durchfahrt verboten (Aufgabennummer: 1102)

Wie viel Prozent der Fläche des „Durchfahrt verboten“-Schilds ist rot?

Zur Berechnung müssen die SchülerInnen ihr Wissen über den Flächeninhalt vom Kreis verwenden. Zudem ist zu beachten, dass das Schild nicht nur im Inneren weiß ist, sondern auch noch einen weißen Rand hat, der für eine exakte Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Die SchülerInnen messen dafür die verschiedenen Radien, berechnen den Gesamtflächeninhalt und die Flächeninhalte der beiden weißen Flächen. Mittels Subtraktion ergibt sich der Flächeninhalt des roten Rings. Im letzten Schritt muss noch der prozentuale Anteil der roten Fläche berechnet werden.

Die Aufgabe ist im Bereich Geometrie einzuordnen, genauer bei Kreisen und Flächeninhalten und ist ab Klasse 7 lösbar. Andere Verkehrsschilder lassen sich in ähnlicher Art und Weise in geometrische Fragestellungen integrieren, beispielsweise das „Einfahrt verboten“ Schild bei einer Einbahnstraße. Insbesondere die verschiedenen ebenen Figuren bei Straßenschildern (Kreis, Dreieck, Rechteck, Achteck) motivieren hier vielfältige Aufgaben.

Kategorie: Aufgabe der Woche

Aufgabe der Woche: Pilz

Aufgabe der Woche: Hublandbrücke

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Aufgabe der Woche: Rot oder Grün?

Aufgabe der Woche: Stein

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Aufgabe der Woche: Durchfahrt verboten